Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/532

et les disposer à rebours, de cette manière

$p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x,\quad p^{(n-2)}+q^{(n-2)}x,\quad p^{(n-3)}+q^{(n-3)}x,\ldots ,\quad p+qx\,;$

ensuite on formera par leur moyen les quantités suivantes

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &=p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x,\\\xi ''\ &=\left(p^{(n-2)}+q^{(n-2)}x\right)\xi '+x^{2}\xi ,\\\xi '''&=\left(p^{(n-3)}+q^{(n-3)}x\right)\xi ''+x^{2}\xi ',\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\left(p^{(n-4)}+q^{(n-4)}x\right)\xi '''+x^{2}\xi '',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi ^{(n)}&=(p+qx)\xi ^{(n-1)}+x^{2}\xi ^{(n-2)},\end{aligned}}$

et l’on aura ${\frac {\xi ^{(n-1)}}{\xi ^{(n)}}}$ pour la fraction génératrice de la série récurrente.

Exemple I.

12. Étant proposée la suite des nombres

$1,\ \ 2,\ \ 3,\ \ 3,\ \ 7,\ \ 5,\ \ 15,\ \ 9,\ \ 31,\ \ 17,\ \ 63,\ \ 33,\ \ 127,\ \ 65,\ldots ,$

dont on ignore la loi, on demande si cette suite est récurrente, et quelle est, dans ce cas, l’expression de son terme général.

Ayant formé la série

${\begin{aligned}s=1&+2x+3x^{2}+3x^{3}+7x^{4}+5x^{5}+15x^{6}+9x^{7}\\&+31x^{8}+17x^{9}+63x^{10}+33x^{11}+127x^{12}+65x^{13}+\ldots ,\end{aligned}}$

on divisera, par la méthode ordinaire, l’unité par cette série, et l’on trouvera le quotient $1-2x$ et le reste $x^{2}+3x^{3}-x^{4}+\ldots ,$ qui est, comme l’on voit, tout divisible par $x^{2}$ ; on divisera donc ce reste par $x^{2},$ et l’on aura la nouvelle série

${\begin{aligned}s'=1&+3x-x^{2}+9x^{3}-5x^{4}+21x^{5}-13x^{6}\\&+45x^{7}-29x^{8}+93x^{9}-61x^{10}+18x^{11}+\ldots ,\end{aligned}}$