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Quoique les formules précédentes soient connues depuis longtemps, j’ai cru devoir les donner ici, parce que j’aurai occasion d’en faire usage dans la suite.

Quant aux coefficients $[0],[1],[2],\ldots$ du numérateur, il est très-facile de les déterminer par le moyen des équations trouvées dans le numéro précédent, lesquelles donnent

${\begin{aligned}&[0]=\mathrm {T} ,\\&[1]=\mathrm {T'\ +(1)T} ,\\&[2]=\mathrm {T''\,+(1)T'\,+(2)T} ,\\&[3]=\mathrm {T'''+(1)T''+(2)T'+(3)T} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Corollaire II.

7. On voit, par l’analyse du Problème précédent, que non-seulement toute suite composée de sinus d’angles qui croissent en progression arithmétique, mais, en général, toute suite composée de termes qui procèdent en progression géométrique, est récurrente d’un ordre égal au nombre de ces termes.

Il est facile de prouver de même que toute suite algébrique qui a des différences constantes d’un ordre quelconque, multipliée, si l’on veut, terme à terme par une série géométrique quelconque, est une suite récurrente d’un ordre supérieur d’une unité ; et qu’en général toute suite formée par l’addition de deux ou de plusieurs suites de cette espèce sera pareillement récurrente d’un ordre égal à la somme de ceux de chaque suite particulière.

En effet, on sait que la somme d’une suite infinie, dont le terme général, sera $(m+1)p^{m}x^{m},$ est exprimée par ${\frac {1}{(1-px)^{2}}},$ que celle dont le terme général sera ${\frac {(m+1)(m+2)}{2}}p^{m}x^{m}$ est exprimée par ${\frac {1}{(1-px)^{3}}},$ que celle dont le terme général sera ${\frac {(m+1)(m+2)(m+3)}{2.3}}p^{m}x^{m}$ est expri-