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par le dénominateur

$1+(1)x+(2)x^{2}+\ldots +(n)x^{n},$

et comparant les termes du produit avec le numérateur

$[0]+[1]x+[2]x^{2}+\ldots +[n-1]x^{n-1},$

on a les équations

${\begin{aligned}&\mathrm {T} \ \ \,=[o],\\&\mathrm {T} '\ \,=-(1)\mathrm {T} \ \ +[1],\\&\mathrm {T} ''\,=-(1)\mathrm {T} '\ -(2)\mathrm {T} \ +[2],\\&\mathrm {T} '''=-(1)\mathrm {T} ''-(2)\mathrm {T} '-(3)\mathrm {T} +[3],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {T} ^{(n-1)}=-(1)\mathrm {T} ^{(n-2)}-(2)\mathrm {T} ^{(n-3)}-\ldots -(n-1)\mathrm {T} +[n-1],\\&\mathrm {T} ^{(n)}\ \ \ \,=-(1)\mathrm {T} ^{(n-1)}-(2)\mathrm {T} ^{(n-2)}-\ldots -(n)\mathrm {T} +[n-1],\\&\mathrm {T} ^{(n+1)}=-(1)\mathrm {T} ^{(n)}\quad -(2)\mathrm {T} ^{(n-1)}-\ldots -(n)\mathrm {T} ',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$\mathrm {T} ^{(m)}=-(1)\mathrm {T} ^{(m-1)}-(2)\mathrm {T} ^{(m-2)}-\ldots -(n)\mathrm {T} +[m-n],$

où les coefficients

$-(1),\quad -(2),\quad -(3),\ldots ,\quad -(n)$

forment ce qu’on appelle, d’après M. Moivre, l’échelle de la série récurrente.

Corollaire I.

6. Puisque $p=e^{\alpha {\sqrt {-1}}},\ q=e^{-\alpha {\sqrt {-1}}},$ on aura

$p+q=e^{\alpha {\sqrt {-1}}}+e^{-\alpha {\sqrt {-1}}}=2\cos \alpha ,\quad pq=1\,;$

de même

${\begin{alignedat}{2}r+s=&2\cos \beta ,\qquad &rs=1,\\t+u=&2\cos \gamma ,&tu=1,\end{alignedat}}$