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Remarque I.

2. C’est sur ce principe que sont fondées toutes les Tables des planètes chaque terme tel que $\mathrm {A} \sin \varphi$ s’appelle une équation, dont $\mathrm {A}$ est le coefficient ou la plus grande valeur, et $\varphi$ l’argument.

Les Anciens, qui ne voulaient admettre dans le Système du monde que des mouvements circulaires et uniformes, représentaient toutes les irrégularités des mouvements des Corps célestes par des cercles excentriques et par des épicycles ; or il est facile de prouver que, tant que l’excentricité est assez petite et que les rayons des épicycles sont aussi assez petits par rapport à celui du cercle principal, les irrégularités que l’on trouve par ce moyen peuvent toujours s’exprimer par une suite de termes de la forme $\mathrm {A} \sin \varphi .$

En effet, si l’on considère un cercle dont le rayon soit $a,$ et qui soit chargé d’un épicycle dont le rayon soit $ma,$ et qu’on suppose que, tandis que le centre de cet épicycle se meut sur la circonférence du cercle principal en décrivant autour de son centre l’angle $t,$ un corps se meuve sur la circonférence de l’épicycle en décrivant autour de son centre l’angle $\varphi ,$ on trouvera que ce corps décrira autour du centre du cercle principal un angle $t+x,$ où $x$ sera tel que

$\operatorname {tang} x={\frac {m\sin \varphi }{1+m\cos \varphi }},$

en sorte que l’angle $x$ exprimera l’inégalité du mouvement provenant de l’épicycle. Or, si l’on suppose le rayon $ma$ fort petit par rapport au rayon $a,$ on aura pour $m$ une fraction fort petite, et l’on aura par les séries

$\operatorname {tang} x=m\sin \varphi \left(1-m\cos \varphi +m^{2}\cos ^{2}\varphi -\ldots \right)\,;$

mais

$x=\operatorname {tang} x-{\frac {\operatorname {tang} ^{3}x}{3}}+\ldots .$

Donc, substituant la valeur de $\operatorname {tang} x,$ et réduisant les puissances et les