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ou simplement, à cause de $\sin \pi$ très-petit, et de $d\pi$ et $d\varepsilon$ très-petits aussi par rapport à $d\omega ,$ comme on le verra dans la suite,

${\frac {\cos \pi d(d\omega +\cos \pi d\varepsilon )}{dt^{2}}}\mathrm {H} -{\frac {\sin \pi d\pi d\omega }{dt^{2}}}\mathrm {H} ,$

c’est-à-dire (Article XIX)

$\mathrm {E} =\Omega \cos \pi -{\frac {\sin \pi d\pi d\omega }{dt^{2}}}\mathrm {H} ,$

En second lieu, on aura (Article XIV)

${\begin{aligned}\mathrm {E} '=&-\mathrm {\left(K-{\frac {1}{2}}H\right)} \Gamma \cos(\nu -\varepsilon )\sin \pi \\&+\mathrm {M} \Delta \Lambda \cos \pi +{\frac {1}{2}}\mathrm {M} \Gamma (\Delta \cos \omega +\Lambda \sin \omega )\sin \pi \\&+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} \left(\Lambda ^{2}-\Delta ^{2}\right)\cos \pi +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} \Gamma (\Lambda \cos \omega -\Delta \sin \omega )\sin \pi ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en substituant pour $\Delta$ et pour $\Lambda$ (Article XVI) les expressions

$\cos \theta \cos \psi {\sqrt {1+\lambda ^{2}}},\quad \sin \theta \cos \psi {\sqrt {1+\lambda ^{2}}},$

et mettant $\Omega '$ à la place de $\mathrm {M} \Delta \Lambda +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} \left(\Lambda ^{2}-\Delta ^{2}\right)$ (Article XIV),

${\begin{aligned}\mathrm {E} '=\Omega '\cos \pi +\Gamma \sin \pi \left[\mathrm {\left({\frac {1}{2}}H-K\right)} \cos(\nu -\varepsilon )+{\frac {1}{2}}\mathrm {M} \cos \psi {\sqrt {1+\lambda ^{2}}}\cos(\omega -\theta )\right.\quad &\\\left.-{\frac {1}{2}}\mathrm {N} \cos \psi {\sqrt {1+\lambda ^{2}}}\sin(\omega -\theta )\right].&\end{aligned}}$

On mettra ici, comme dans l’Article XIX, $1$ au lieu de $\cos \psi {\sqrt {1+\lambda ^{2}}}$ et $\nu -\varepsilon -\theta$ au lieu de $\omega ,$ c’est-à-dire $\nu -\varepsilon -2\theta$ au lieu de $\omega -\theta ,$ ou bien simplement $\nu -\varepsilon ,$ à cause que l’angle $\theta$ est toujours très-petit, et l’on aura

$\mathrm {E} '=\Omega '\cos \pi +\Gamma \sin \pi \left[\mathrm {\left({\frac {1}{2}}H-K+{\frac {1}{2}}M\right)} \cos(\nu -\varepsilon )-{\frac {1}{2}}\mathrm {N} \sin(\omega -\theta )\right].$

On substituera donc ces valeurs dans l’équation proposée (2), et, ôtant ce qui se détruit en vertu de l’équation (1), on aura, après avoir mis ${\frac {3d\mathrm {V} ^{2}}{dt^{2}}}$ au lieu de ${\frac {3\mathrm {T} }{\rho ^{3}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}$ et effacé les termes qui contiennent ${\frac {3\mathrm {S} }{\rho '^{3}}}$ comme dans