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Or on a, par le n^o 48,

$\mathrm {P} ={\frac {\rho ^{2}}{2r^{3}}}-{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}}{2r^{5}}}+{\frac {3(x\xi +y\eta +z\zeta )\rho ^{2}}{2r^{5}}}-{\frac {5(x\xi +y\eta +z\zeta )^{3}}{2r^{7}}}+\ldots .$

Et si l’on substitue, dans cette expression de $\mathrm {P} ,$ les valeurs de $\xi ,\eta ,\zeta ,\rho$ en sinus et cosinus de $\upsilon$ (n^o 51), il est visible qu’elle deviendra de cette forme

$R+\mathrm {R\sin \upsilon +S\cos \upsilon +T\sin 2\upsilon +V} \cos 2\upsilon +\ldots ,$

dans laquelle $R,\mathrm {R,S} ,\ldots ,$ seront des fonctions rationnelles et entières de $x,y,z,$ et dont chaque terme sera de plus divisé par une puissance de $r,$ dont l’exposant surpassera de trois unités ou davantage la somme des dimensions de $x,y,z$ dans le numérateur.

Or, comme l’angle $\upsilon$ dépend uniquement des quantités $\xi ,\eta ,\zeta$ qui doivent être regardées comme constantes dans la différence partielle $\operatorname {D} \mathrm {P} ,$ et qu’au contraire les quantités $R,\mathrm {R,S} ,\ldots$ dépendent uniquement des quantités $x,y,z$ qui sont les seules variables dans cette différentielle, il est clair qu’on aura

$\operatorname {D} \mathrm {P} =dR+\sin \upsilon \mathrm {dR+\cos \upsilon dS+\sin 2\upsilon dT+\cos 2\upsilon dV} +\ldots ,$

$dR,d\mathrm {R,dS} ,\ldots$ étant des différences ordinaires et totales des quantités $R,\mathrm {R,S} ,\ldots .$

Donc on aura, en général,

$d\,\delta a=-{\frac {\mu a^{2}}{1+m}}\left(dR+\sin \upsilon \mathrm {dR+\cos \upsilon dS+\sin 2\upsilon dT+\cos 2\upsilon dV} +\ldots \right)\,;$

et cette valeur de $d\,\delta a,$ en y faisant $x=r\cos \varphi ,\ y=r\sin \varphi ,$ et $z=0,$ deviendra identique avec celle du n^o 50, mais elle sera toujours d’une forme plus simple et plus commode pour l’intégration.

56. En effet on voit d’abord, par l’expression précédente de $d\,\delta a,$ que la partie indépendante de l’angle $\upsilon$ est intégrable, son intégrale étant $-{\frac {\mu a^{2}}{1+m}}R$ où $R$ est la partie indépendante de $\upsilon$ dans la valeur de $\mathrm {P} ,$