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seconde dimension. Or, en faisant, pour un moment,

${\sqrt {\frac {a}{4h}}}\left[(fr+x)\xi +y\eta \right]=\Xi ,\quad y\xi -x\eta =\Upsilon ,$

on a

$(\mathrm {F} )=-\Xi y+\left(4x{\sqrt {\frac {h}{a}}}+2f{\sqrt {ah}}\right)\Upsilon ,\quad (\mathrm {G} )=\Xi y+{\sqrt {\frac {a}{h}}}\,y\Upsilon \,;$

donc les termes en question seront

$-\left({\frac {2r^{2}x}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {fy^{2}x}{2{\sqrt {ah^{3}}}}}\right)\Xi +\left(-{\frac {2r^{2}y}{fah}}+{\frac {2fyx^{2}}{ah}}\right)\Upsilon .$

Maintenant, à cause que nous prenons le grand axe de l’orbite pour celui des abscisses $x,$ et que $e=f$ (n^o 25), on aura (n^o 18)

$x={\frac {2h-r}{f}},\quad y={\frac {2{\sqrt {h}}}{f}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}\,;$

donc, substituant cette valeur de $y$ dans le coefficient de $\Xi ,$ il deviendra

${\frac {2r^{2}x}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {2x}{f{\sqrt {ah}}}}\left(r-{\frac {r^{2}}{a}}-h\right)={\frac {2x(r-h)}{f{\sqrt {ah}}}}\,;$

et, substituant la valeur de $x^{2}$ dans le coefficient de $\Upsilon ,$ il deviendra

$-{\frac {2r^{2}y}{fah}}+{\frac {2r^{2}y}{fah}}+{\frac {8(h-r)y}{fa}}={\frac {8(h-r)y}{fa}}.$

Donc, puisque $\Xi$ et $\Upsilon$ ne contiennent que la première dimension de $x,y,r,$ il s’ensuit que les termes dont il s’agit de l’expression de $(\mathrm {I} ),$ lesquels paraissent, au premier aspect, devoir contenir la quatrième dimension de ces quantités, n’en contiendront réellement que la troisième.

Cela supposé, on mettra, tant dans les expressions de $(\mathrm {H} ),(h),(\mathrm {A} ),$ $(a),\ldots$ du numéro cité que dans celles de $\Pi '$ et $\varpi '$ du n^o 48, à la place de $x$ et $y,$ les valeurs $r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi$ (n^o 18), $\varphi$ étant l’anomalie vraie de la comète dans son orbite non altérée ; on verra :

1^o Que les expressions de $(\mathrm {H} ),(h),(\mathrm {A} ),(a),\ldots$ deviendront des fonc-