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En comparant ces expressions de $\mathrm {X',Y',Z'}$ avec celles de $\mathrm {X,Y,Z}$ du n^o 42, il est visible qu’elles n’en diffèrent qu’en ce que les quantités $\Pi$ et $\varpi$ se trouvent changées en $\Pi '$ et $\varpi '.$ D’où il est aisé de conclure que, par la substitution dont il s’agit, on aura les mêmes équations différentielles que dans le n^o 42, en y changeant seulement $\Pi$ et $\varpi$ en $\Pi '$ et $\varpi '.$

Il n’y aura donc qu’à employer dans les équations du n^o 42, à la place de $\Pi$ et $\varpi ,$ les quantités $\Pi '$ et $\varpi '\,;$ et l’on pourra continuer à les employer pour telle portion de l’orbite qu’on voudra et reprendre ensuite les premières quantités, pourvu qu’on ajoute aux valeurs totales de $\delta h,\delta a,\ldots$ les quantités respectives $\mathrm {\mu (H''-H'),\ \mu (A''-A')} ,\ldots \,;$ $\mathrm {H',A'} ,\ldots$ étant les valeurs de $\mathrm {H,A} ,\ldots$ du n^o 39 qui répondent au point de l’orbite où l’on change $\Pi ,\varpi$ en $\Pi ',\varpi '\,;$ et $\mathrm {H'',A''} ,\ldots$ étant les valeurs des mêmes quantités pour le point où l’on reprendra $\Pi$ et $\varpi$ à la place de $\Pi '$ et $\varpi '$ (n^o 40).

50. Le grand avantage de la transformation précédente consiste en ce que les quantités $\Pi '$ et $\varpi ',$ qu’on substitue à la place de $\Pi$ et $\varpi ,$ deviennent très-petites lorsque la distance $r$ de la comète au Soleil est beaucoup plus grande que la distance $\rho$ de la planète au Soleil, ce qui est visible par les expressions des quantités $\Pi '$ et $\varpi '$ (numéro précédent) ; tandis que la valeur de $\Pi$ (n^o 42) demeure toujours finie, quel que soit l’éloignement de la comète, à cause du terme ${\frac {1}{\rho ^{3}}},$ qui ne dépend que de la distance de la planète au Soleil, et qui est l’effet de l’action de la planète sur le Soleil.

Or, si l’on considère que l’on a, en général,

${\begin{aligned}&\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}\right)\\&\quad =(x\xi +y\eta +z\zeta )^{2}+(x\eta -y\xi )^{2}+(x\zeta -z\xi )^{2}+(y\zeta -z\eta )^{2},\end{aligned}}$

et que, par conséquent, $x\xi +y\eta +z\zeta$ est toujours nécessairement renfermé entre $+r\rho$ et $-r\rho ,$ on verra que le premier terme de la quantité $\Pi '$ sera de l’ordre de ${\frac {\rho }{r^{4}}},$ et les deux autres de l’ordre de ${\frac {\rho ^{2}}{r^{5}}}\,;$ et que les deux premiers termes de $\varpi '$ seront de l’ordre de ${\frac {\rho ^{2}}{r^{5}}},$ et les deux sui-