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on aura, à la place de la dernière équation du numéro précédent, celle-ci

$\Delta _{2}-\Delta _{0}={\frac {\mu \beta }{1+m}}\left(2\mathrm {V} _{1}+{\frac {2}{3}}\mathrm {V} ''_{1}+{\frac {\mathrm {K+L+M} }{\sqrt {R_{2}}}}-{\frac {\mathrm {K-L+M} }{\sqrt {R_{0}}}}\right).$

Soit : 2^o $R_{1}R''_{1}-{\tfrac {1}{4}}R_{1}^{'2}=0\,;$ dans ce cas, la quantité $R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}$ deviendra ${\frac {\left(R_{1}+{\frac {1}{2}}R'_{1}n\right)^{2}}{R_{1}}},$ et l’on aura à intégrer cette différentielle rationnelle

${\frac {\left(\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} '_{1}n+\mathrm {U} ''_{1}n^{2}\right)R_{1}^{\frac {3}{2}}}{\left(R_{1}+{\frac {1}{2}}R'_{1}n\right)^{3}}}dn,$

qu’on supposera égale à

$R_{1}^{\frac {3}{2}}\left(d{\frac {\mathrm {K+L} n}{\left(R_{1}+{\frac {1}{2}}R'_{1}n\right)^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} dn}{R_{1}+{\frac {1}{2}}R'_{1}n}}\right),$

ce qui donnera, en réduisant au même dénominateur et comparant les termes,

${\begin{aligned}\mathrm {K} =&-{\frac {\mathrm {U} _{1}}{R'_{1}}}-{\frac {2\mathrm {U} _{1}R_{1}}{R_{1}^{'3}}}+{\frac {12\mathrm {U} _{1}^{''2}R_{1}}{R_{1}^{'2}}},\\\mathrm {L} =&-{\frac {2\mathrm {U} '_{1}}{R'_{1}}}+{\frac {8\mathrm {U} ''_{1}R_{1}}{R_{1}^{'2}}},\\\mathrm {M} =&{\frac {4\mathrm {U} ''_{1}}{R_{1}^{'2}}}.\end{aligned}}$

Intégrant donc et complétant dûment l’intégrale, on trouvera, pour le cas dont il s’agit, l’équation

$\Delta _{2}-\Delta _{0}={\frac {\mu \beta }{1+m}}\left[2\mathrm {V} _{1}+{\frac {2}{3}}\mathrm {V} ''_{1}+\left({\frac {\mathrm {K+L} }{R_{2}}}-{\frac {\mathrm {K-L} }{R_{0}}}\right){\sqrt {R_{1}}}+{\frac {\mathrm {M} R_{1}^{\frac {3}{2}}}{R'_{1}}}\log {\frac {R_{2}}{R_{0}}}\right].$

48. Ayant trouvé ainsi la valeur de $\Delta _{2}-\Delta _{0}$ pour une portion d’anomalie excentrique $u_{2}-u_{0},$ on trouvera de même la valeur de $\Delta _{4}-\Delta _{2}$ pour une portion suivante d’anomalie $u_{4}-u_{2},$ et ainsi de suite ; et ces différentes valeurs seront exactes, aux quantités près de l’ordre de $\mu \beta ^{3}$ et $\mu \gamma ^{3},$ $\beta$ étant $={\frac {u_{2}-u_{0}}{2}},\ {\frac {u_{4}-u_{2}}{2}},\ldots ,$ et $\gamma$ étant la partie correspondante de l’anomalie moyenne de la planète. Ajoutant donc successive-