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elle dépend de la quadrature de l’hyperbole ou du cercle, suivant que $R''_{1},$ est une quantité positive ou négative.

Pour en trouver l’intégrale, on supposera cette différentielle égale à

$d{\frac {\mathrm {K+L} n}{\sqrt {R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}}}}+{\frac {\mathrm {M} dn}{\sqrt {R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}}}},$

et l’on trouvera par la comparaison des termes, après avoir réduit au même dénominateur,

${\begin{aligned}\mathrm {K} =&{\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {U} _{1}R'_{1}-\mathrm {U} '_{1}R_{1}+{\cfrac {\mathrm {U} ''_{1}R_{1}R'_{1}}{2R''}}}{R_{1}R''_{1}-{\frac {1}{4}}R_{1}^{'2}}},\\\mathrm {L} =&{\frac {\mathrm {U} _{1}R''_{1}-{\frac {1}{2}}\mathrm {U} '_{1}R'_{1}-\mathrm {U} ''_{1}\left(R_{1}-{\cfrac {R_{1}^{'2}}{2R''_{1}}}\right)}{R_{1}R''_{1}-{\frac {1}{4}}R_{1}^{'2}}},\\\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {U} ''_{1}}{R''_{1}}}\,;\end{aligned}}$

or l’intégrale de la première partie est évidemment

${\frac {\mathrm {K+L} n}{\sqrt {R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}}}},$

et celle de la seconde est, en faisant, pour abréger, ${\frac {\sqrt {R_{1}+R'_{1}n+R''_{1}n^{2}}}{{\frac {1}{2}}R'_{1}+R''_{1}n}}=\mathrm {N} ,$

${\frac {\mathrm {M} }{2{\sqrt {R''_{1}}}}}\log {\frac {1+\mathrm {N} {\sqrt {R''_{1}}}}{1-\mathrm {N} {\sqrt {R''_{1}}}}},$

si $R''_{1}$ est positif ; mais si $R''_{1}$ est négatif, cette intégrale devient

${\frac {\mathrm {M} }{2{\sqrt {-R''_{1}}}}}\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mathrm {N} {\sqrt {-R''_{1}}}.$

On fera maintenant dans ces formules $n=1$ et $n=-1,$ et l’on retranchera la seconde valeur de la première pour avoir l’intégrale complète ; or, en faisant $n=1,$ la quantité sous le signe ${\sqrt {}}$ devient $R_{1}+R'_{1}+R''_{1}=R_{2},$ et, en faisant $n=-1,$ elle devient $R_{1}-R'_{1}+R''_{1}=R_{0}.$ Donc la valeur