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rationnelle de $\mathrm {R} ^{2},$ laquelle est (n^o 2), $z$ étant $=0,$

$\mathrm {R} ^{2}=r^{2}-2(x\xi +y\eta )+\rho ^{2},$

à une fonction rationnelle de $\sin u$ et $\cos u\,;$ à plus forte raison le sera-t-il d’y réduire la quantité irrationnelle et rompue ${\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}.$

44. On est donc forcé, dans la Théorie des comètes, de renoncer à l’avantage de parvenir à des formules analytiques qui expriment les inégalités de leur mouvement pour un temps quelconque, telles que celles que l’on trouve pour les inégalités des planètes, et la seule ressource qui reste est de déterminer ces inégalités par parties, en partageant l’orbite de la comète en différentes portions, et calculant séparément l’effet des perturbations pour chacune de ces portions.

En effet, tant que l’angle $\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}}$ ne sera pas trop grand, on pourra exprimer son sinus et son cosinus par les séries connues qui procèdent suivant les puissances de l’arc, et par là on remédiera au premier inconvénient.

Ensuite on observera que, tant que le rayon $r$ de la comète sera beaucoup moindre que le rayon $\rho$ de la planète perturbatrice, et que, par conséquent, $x$ et $y$ seront moindres que $\rho ,$ on pourra réduire la quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}$ en une série convergente, en prenant ${\frac {1}{\rho ^{3}}}$ pour le premier terme.

De cette manière, on pourra donc intégrer les valeurs de $d\,\delta h,d\,\delta a,\ldots$ du n^o 42, depuis le périhélie de l’orbite de la comète jusqu’à un point de cette orbite dans lequel $\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}}$ et ${\frac {r}{\rho }}$ soient des quantités encore assez petites.

Soit maintenant $u'$ l’anomalie excentrique qui répond à ce point ; on fera, en général, $u=u'+\upsilon ,$ et, tant que l’angle $\upsilon$ sera assez petit, on pourra mettre les quantités à intégrer sous la forme rationnelle

$\mathrm {\left(L+M\upsilon +N\upsilon ^{2}+\ldots \right)} d\upsilon \,;$