Or on sait que dans les orbites des planètes, à cause de la petitesse de leur excentricité, on peut exprimer tant l’équation du centre que le rayon vecteur par des suites très-convergentes, qui procèdent suivant les sinus et cosinus de l’anomalie moyenne et de ses multiples (on trouve ces suites développées d’après les principales Tables astronomiques, dans le premier volume du Recueil des Tables, publié par l’Académie de Berlin) ; on pourra donc représenter par de semblables séries les valeurs de et de pour chaque planète, et il n’y aura plus qu’à exprimer l’anomalie moyenne de la planète par l’anomalie excentrique de la comète.
Pour faire cette réduction, soient le grand axe de l’orbite de la planète, et son anomalie moyenne comptée à l’ordinaire depuis l’aphélie soit, de plus, la valeur de l’anomalie moyenne de la comète pour l’instant du passage de la planète par l’aphélie ; il est visible que et seront les anomalies contemporaines de la planète et de la comète, lesquelles doivent être entre elles en raison réciproque de la durée de leurs révolutions, et par conséquent, par les Théorèmes connus, en raison de d’où il suit qu’on aura
où il n’y aura plus qu’à substituer pour sa valeur (no 20).
Comme, dans l’orbite des comètes, l’excentricité e est peu différente de l’unité, il est clair que les sinus et cosinus de et de ses multiples ne sauraient s’exprimer par de simples sinus et cosinus de et de ses multiples par conséquent, il est impossible d’exprimer, en général, et par des fonctions rationnelles et entières de et de C’est la première difficulté qui s’oppose à l’intégration des équations du numéro précédent.
La seconde difficulté vient du dénominateur irrationnel en effet il est d’abord impossible, par la raison précédente, de réduire l’expression
