Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/453

$-\mu \mathrm {Z} dt$ à la place de $d{\frac {d\,\delta x}{dt}},\ d{\frac {d\,\delta y}{dt}},\ d{\frac {d\,\delta z}{dt}}\,;$ on aura les équations suivantes

${\begin{aligned}d\,\delta h=&-\mu {\frac {\sqrt {2h}}{1+m}}(x\mathrm {Y} -y\mathrm {X} )dt,\\d\,\delta a=&-{\frac {\mu }{1+m}}a^{2}(\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy),\\d\,\delta f=&-{\frac {\mu ydt}{\sqrt {2h(1+m)}}}\left[\left(f+{\frac {x}{r}}\right)\mathrm {X} +{\frac {y}{r}}\mathrm {Y} \right]+{\frac {2dyd\,\delta h}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\d\,\delta g=&\quad {\frac {\mu xdt}{\sqrt {2h(1+m)}}}\left[\left(f+{\frac {x}{r}}\right)\mathrm {X} +{\frac {y}{r}}\mathrm {Y} \right]-{\frac {2dxd\,\delta h}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\d\,\delta b=&\quad {\frac {\mu y}{\sqrt {2h(1+m)}}}\mathrm {Z} dt,\\d\,\delta c=&-{\frac {\mu x}{\sqrt {2h(1+m)}}}\mathrm {Z} dt,\\d\,\delta i=&3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a}{a}}-{\frac {2r^{2}d\,\delta g}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {y(fx-4h)d\,\delta f}{2{\sqrt {ah^{3}}}}}\,;\end{aligned}}$

et l’équation entre $\delta a,\delta h,\delta f,$ étant différentiée aussi, donnera

$ad\,\delta h-hd\,\delta a+{\frac {a^{2}fd\,\delta f}{2}}=0,$

qui servira à déterminer, si l’on veut, $d\,\delta f,$ en connaissant $d\,\delta h$ et $d\,\delta a.$

Or je remarque qu’on a cette combinaison

$xd\,\delta f+yd\,\delta g=2{\frac {xdy-ydx}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}}d\,\delta h=2d\,\delta h\,;$

de sorte qu’on aura

$d\,\delta g={\frac {2d\,\delta h-xd\,\delta f}{y}},$

ainsi, comme

$d\,\delta f={\frac {2(hd\,\delta a-ad\,\delta h)}{a^{2}f}},$

on aura

$d\,\delta g={\frac {2}{afy}}\left[(af+x)d\,\delta h-xh\right]{\frac {d\,\delta a}{a}},$

valeurs que l’on pourra employer à la place des précédentes.