Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/450

${\frac {d\,\delta f}{dt}},\ldots \,;$ ainsi l’on aura (n^o 23)

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d\,\delta a}{dt}}=&-\mu \mathrm {\left(C'X+D'Y\right)} ,\qquad &{\frac {d\,\delta f}{dt}}=&-\mu \mathrm {\left(G'X+H'Y\right)} ,\\{\frac {d\,\delta g}{dt}}=&-\mu \mathrm {\left(C''X+D''Y\right)} ,&{\frac {d\,\delta i}{dt}}=&-\mu \mathrm {\left(G''X+H''Y\right)} ,\\{\frac {d\,\delta b}{dt}}=&-\mu \mathrm {L'Z} ,&{\frac {d\,\delta c}{dt}}=&-\mu \mathrm {L''Z} .\end{alignedat}}$

36. En général, il est visible que les équations du n^o 33 ne sont autre chose que les différentielles de celles qui donnent les valeurs de $\delta x,{\frac {d\,\delta x}{dt}},\delta y,\ldots$ en $\delta a,\delta f,\delta g,\ldots ,$ en y faisant varier seulement ces dernières quantités, ainsi que les différences premières ${\frac {d\,\delta x}{dt}},\ {\frac {d\,\delta y}{dt}},\ {\frac {d\,\delta z}{dt}},$ et mettant à la place des différences secondes ${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}$ les quantités $-\mu \mathrm {X} ,-\mu \mathrm {Y} ,-\mu \mathrm {Z} \,;$ de sorte qu’en faisant les mêmes opérations sur les équations qui donnent directement les valeurs de $\delta a,\delta f,\ldots$ en $\delta x,{\frac {d\,\delta x}{dt}},\delta y,\ldots ,$ on aura sur-le-champ les valeurs cherchées de ${\frac {d\,\delta a}{dt}},\ {\frac {d\,\delta f}{dt}},\ {\frac {d\,\delta g}{dt}},\ldots .$ C’est ce qu’on peut aussi démontrer à priori par le raisonnement suivant.

Soit, en général,

$\Delta =\Phi$

une quelconque des équations dont il s’agit, étant une des six constantes arbitraires $\delta a,\delta f,\delta g,\delta i,\delta b,\delta c,$ et $\Phi$ la fonction de $t$ et de $\delta x,\delta y,\delta z,$ ${\frac {d\,\delta x}{dt}},\ {\frac {d\,\delta y}{dt}},\ {\frac {d\,\delta z}{dt}}$ qui lui est égale, il est clair que cette équation considérée en elle-même n’est autre chose qu’une intégrale première, ou du premier ordre, des équations du n^o 23, dans laquelle à est la constante arbitraire introduite par l’intégration ; donc, en différentiant, on aura cette équation du second ordre

$d\Phi =0,$