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Or les formules (G) du n^o 15 donnent

${\begin{aligned}p=&fx+gy,\\q=&\left[f+c(cf-bg)\right]y-\left[g-b(cf-bg)\right]x\,;\end{aligned}}$

donc, substituant ces valeurs, on aura pour $\delta i$ une expression toute rationnelle et entière, et qui ne sera par conséquent sujette à aucun inconvénient.

On remarquera encore, à l’égard de $\delta f,\delta g,\delta b,\delta c,$ qu’on peut aussi les exprimer d’une manière plus simple et plus commode à quelques égards, en les déduisant directement des équations (A) et (E), différentiées d’abord relativement à la caractéristique $\delta ,$ et ensuite par rapport à la caractéristique ordinaire $d\,;$ ce qui, dans le fond, revient au même que si on les différentie d’abord par rapport à cette dernière caractéristique, et ensuite par rapport à la première, ainsi que nous en avons usé plus haut.

De cette manière, l’équation (E) donnera ces deux-ci

$2\delta h-\delta r=x\delta f+y\delta g+f\delta x+g\delta y,\quad -d\,\delta r=dx\delta f+dy\delta g+fd\,\delta x+gd\,\delta y\,;$

d’où l’on tire, en mettant pour $xdy-ydx$ sa valeur $\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}},$

${\begin{aligned}\delta f=&\quad {\frac {dy(2\delta h-\delta r)+yd\,\delta r-f(dy\delta x-yd\,\delta x)-g(dy\delta y-yd\,\delta y)}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}\\\delta g=&-{\frac {dx(2\delta h-\delta r)+xd\,\delta r-f(dx\delta x-xd\,\delta x)-g(dx\delta y-xd\,\delta y)}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}.\end{aligned}}$

De même l’équation (A) donnera ces deux-ci

$\delta z=x\delta b+y\delta c+b\delta x+c\delta y,\quad d\,\delta z=dx\delta b+dy\delta c+bd\,\delta x+cd\,\delta y\,;$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\delta b=&{\frac {dy\delta z-yd\,\delta z-b(dy\delta x-yd\,\delta x)-c(dy\delta y-yd\,\delta y)}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}\\\delta c=&-{\frac {dx\delta z-xd\,\delta z-b(dx\delta x-xd\,\delta x)-c(dx\delta y-xd\,\delta y)}{\mathrm {K} dt{\sqrt {2(1+m)}}}}\,;\end{aligned}}$