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de l’orbite troublée par l’action d’une planète $\mu ,$ on a pour la détermination des quantités $\delta x,\delta y,\delta z$ les équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right)-\mu \mathrm {X} ,\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right)-\mu \mathrm {Y} ,\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right)-\mu \mathrm {Z} ,\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger (n^o 12),

$\mathrm {X} ={\frac {d\left({\cfrac {1}{\sigma }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dx}},\quad \mathrm {Y} ={\frac {d\left({\cfrac {1}{\sigma }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dy}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {d\left({\cfrac {1}{\sigma }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dz}}.$

23. C’est donc de l’intégration de ces équations que dépend la recherche des perturbations causées par l’action d’une planète quelconque sur la comète. Or cette intégration dépend, comme l’on sait, de celle du cas où il n’y aurait aucun terme tout connu, à cause que les variables inconnues $\delta x,\delta y,\delta z$ ne paraissent que sous la forme linéaire. Ainsi toute la difficulté se réduit à intégrer des équations de la forme suivante

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right),\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right),\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right).\end{aligned}}$

24. Si l’on se rappelle les calculs du n^o 7, on doit voir que les équations précédentes résultent des équations de l’orbite non altérée, en y