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viendra

$w={\frac {{\sqrt {2h}}\sin \varphi }{1+e\cos \varphi }}.$

Pour la parabole, on fera $a=\infty ,$ et l’on aura

$t{\sqrt {1+m}}+j=hw+{\frac {w^{3}}{6}},$

où (à cause de $e=1$)

$w={\sqrt {2(r-h)}}={\sqrt {2h}}\operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}}\,;$

et $h$ sera pour lors égal à la distance périhélie.

21. Nous remarquerons encore que, si, dans l’équation différentielle entre $dr$ et $dt$ du n^o 15, on substitue pour $dr$ et pour ${\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}$ leurs valeurs en $\varphi$ (n^o 18), on trouve

$dt={\sqrt {\frac {1}{2h(1+m)}}}r^{2}d\varphi \,;$

et, si l’on différentie l’équation qui donne la relation entre $t$ et $u$ (n^o 20), et qu’on y mette ${\frac {2r}{a}}$ pour $1-e\cos u,$ il vient

$dt={\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}rdu\,;$

dans la première formule, $\varphi$ est l’anomalie vraie, et dans la seconde $u$ est l’anomalie excentrique.

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section troisième.

intégration des équations différentielles des perturbations.

22. Nous avons vu, dans la première Section, que $x,y,z$ étant les coordonnées de l’orbite non altérée, et $x+\delta x,\ y+\delta y,\ z+\delta z$ celles