Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/430

Donc, comme $\theta =i$ lorsque $t=0,$ on voit que la constante $i$ n’est autre chose que l’époque de l’anomalie moyenne.

En appliquant les formules au mouvement de la Terre autour du Soleil, et prenant la distance moyenne ${\frac {a}{2}}$ pour l’unité, on aura, en négligeant $m={\frac {1}{304355}}$ vis-à-vis de $1,$

$t+i=\theta =$ l’anomalie moyenne du Soleil ;

d’où il s’ensuit que $t,$ exprimé en angles, représentera proprement le mouvement moyen du Soleil pendant le temps écoulé depuis l’époque d’où l’on part ; et qu’ainsi, en divisant la valeur de $t$ par $360$ degrés, ou bien, si $t$ est exprimé en nombres (la distance moyenne du Soleil étant l’unité), en divisant la valeur de $t$ par le rapport de la circonférence au rayon, on aura le temps exprimé en années sidérales, puisque nous pouvons faire abstraction ici du mouvement de l’apogée du Soleil.

Or, puisque

$1-{\frac {4h}{a}}-4\left({\frac {r}{a}}-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}-{\frac {h}{a}}\right)=\left(1-{\frac {2r}{a}}\right)^{2},$

il est clair qu’on aura

$1-{\frac {2r}{a}}=e\cos u\,;$

donc

$r={\frac {a}{2}}(1-e\cos u),$

et comme (n^os 15 et 16)

$p=2h-r,\quad q=2{\sqrt {h\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}},$

on aura, à cause de $h={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{4}},$

${\begin{aligned}p=&{\frac {ae}{2}}(\cos u-e),\\q=&{\frac {ae}{2}}{\sqrt {\left(1-e^{2}\right)\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}\sin u.\end{aligned}}$

De sorte que, en substituant ces valeurs dans les formules (G), on aura aussi $x,y,z$ exprimées en $u.$