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donc, puisque

$\sin \theta \cos \theta ={\frac {1}{2}}\sin 2\theta ,\quad {\text{et}}\quad \sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta =-\cos 2\theta ,$

on aura

$\Omega '={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\psi \left(1+\lambda ^{2}\right)(\mathrm {M} \sin 2\theta -\mathrm {N} \cos 2\theta )\,;$

mais on a (Articles XVI et XIII)

$\sin {\sqrt {1+\lambda ^{2}}}=\Gamma =\sin(\nu -\varepsilon )\sin \pi +\lambda \cos \pi ,$

d’où l’on tire

$\cos \psi {\sqrt {1+\lambda ^{2}}}=$

${\sqrt {1+\lambda ^{2}\sin ^{2}\pi -2\lambda \sin \pi \cos \pi \sin(\nu -\varepsilon )-\sin ^{2}\pi \sin ^{2}(\nu -\varepsilon )}}=1,$

en négligeant, comme nous l’avons fait jusqu’ici, les termes où se trouvent les quantités très-petites $\lambda$ et $\sin \lambda$ formant des produits de deux ou de plusieurs dimensions.

De plus, si l’on suppose, ce qui est permis, que le premier méridien de la Lune soit celui qui passe par la Terre, lorsque le lieu vrai de cette Planète est égal à son lieu moyen, il est clair que l’angle, qui représente la distance du méridien qui passe par le centre apparent de la Lune à son premier méridien (XVI), sera toujours très-petit ; car, suivant les observations de la libration, cet angle ne va guère au delà de $8$ degrés ; par conséquent on aura à très-peu près, et avec une exactitude suffisante pour notre objet, $\sin 2\theta =2\theta$ et $\cos 2\theta =1.$ Donc enfin

$\Omega '=-{\frac {1}{2}}\mathrm {N+M} \theta .$

Il ne reste plus qu’à trouver la valeur de $d^{2}\nu \,;$ pour cela, on remarquera que $\nu -180^{\circ }$ est la longitude vraie de la Lune (Article XIII) ; par conséquent, si l’on appelle $m$ le rapport du mouvement de l’anomalie moyenne de la Lune à son mouvement moyen, et qu’on n’ait égard qu’à sa première inégalité, on aura

$\nu -180^{\circ }=\operatorname {long.\,moy.} {\text{☾}}-a\sin m\mathrm {V} ,$