Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/427

de sorte qu’on aura

$f={\frac {e\cos \varepsilon }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \sin ^{2}(\omega -\varepsilon )}}},\quad g={\frac {e\sin \varepsilon }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \sin ^{2}(\omega -\varepsilon )}}}.$

18. Si l’on fait coïncider le plan de l’orbite avec celui de $x$ et $y,$ on aura $\psi =0,$ et l’angle $\varepsilon$ sera évidemment celui que le grand axe de l’orbite fait avec l’axe des $x.$ Donc, si l’on suppose de plus que ces deux axes coïncident, on aura aussi $\varepsilon =0\,;$ de sorte que, dans cette hypothèse, $b=0,$ $c=0,$ $f=e,$ $g=0,$ et les formules (G) du n^o 15 donneront

$x={\frac {p}{e}},\quad u={\frac {q}{e}},\quad z=0,$

savoir

$x={\frac {2h-r}{e}},\quad y={\frac {2{\sqrt {h}}}{e}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}.$

Or il est visible que, dans ce cas, $x$ et $y$ deviennent les coordonnées de l’orbite dans le plan même de cette orbite ; et comme ces coordonnées doivent être indépendantes de la position du plan de l’orbite, il s’ensuit que les valeurs précédentes de $x$ et $y$ exprimeront toujours, l’une l’abscisse prise dans le grand axe depuis le foyer, et l’autre l’ordonnée rectangle dans le plan même de l’orbite, quelle que soit d’ailleurs la position de ce plan.

Donc, si l’on nomme $\varphi$ l’angle du rayon vecteur $r$ avec le grand axe, on aura, dans la supposition précédente,

$x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \,;$

savoir

$r\cos \varphi ={\frac {2h-r}{e}},\quad r\sin \varphi ={\frac {2{\sqrt {h}}}{e}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}\,;$

d’où l’on tire

$r={\frac {2h}{1+e\cos \varphi }},\quad {\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}={\frac {e{\sqrt {h}}\sin \varphi }{1+e\cos \varphi }}\,;$

cette expression de $r$ fait voir que $\varphi$ est l’anomalie vraie de l’orbite, comptée de son périhélie.