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15. Commençons par déterminer $x,y,z$ en $r.$ Les équations (A) et (E) donnent, en retenant $p$ à la place de $2h-r,$

$x={\frac {gz-cp}{bg-cf}},\quad y={\frac {fz-bp}{cf-bg}}\,;$

substituant ces valeurs dans $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$ et ordonnant par rapport à $z,$ on a

$\left[(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}\right]z^{2}-2(bf+cg)pz+\left(b^{2}+c^{2}\right)p^{2}-(cf-bg)^{2}r^{2}=0,$

d’où l’on tirera $z,$ et ensuite $x$ et $y.$

Si l’on fait, pour plus de simplicité, on trouvera

$q={\sqrt {\left[(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}\right]r^{2}-\left(1+b^{2}+c^{2}\right)p^{2}}},$

on trouvera

(G)

$\left\{{\begin{aligned}x=&{\frac {\left[f+c(cf-bg)\right]p-gq}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}},\\y=&{\frac {\left[g-b(cf-bg)\right]p+fq}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}},\\z=&{\frac {(bf+cg)p+(cf-bg)q}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}}.\end{aligned}}\right.$

16. Maintenant l’équation (B) donne, en chassant $dt,$ par le moyen de l’équation (D),

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}={\frac {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}}{r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}dr^{2}\,;$

mais les équations précédentes donnent

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}={\frac {\left(1+b^{2}+c^{2}\right)dp^{2}+dq^{2}}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}}\,;$

il faut donc que ces deux expressions de $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ deviennent identiques après qu’on aura substitué dans la dernière les valeurs de $p$ et $q$ en $r.$