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section deuxième.

intégration des équations différentielles de l’orbite non altérée.

14. Ayant décomposé les équations générales du mouvement de la comète en équations de l’orbite non troublée (n^o 6) et en équations des perturbations (n^o 7), nous allons nous occuper, dans cette Section, de l’intégration des premières. Nous pourrions, à la vérité, nous en dispenser, puisqu’on sait d’avance, par les Théorèmes de Newton, que, sans les forces perturbatrices, la comète doit décrire autour du Soleil une section conique dont cet astre occupe le foyer, et que le temps doit être proportionnel à l’aire parcourue, divisée par la racine carrée du paramètre. Mais, comme nous avons besoin de connaître les intégrales mêmes des équations dont il s’agit, il est beaucoup plus court et en même temps plus direct de chercher ces intégrales par l’intégration effective que de les déduire des propriétés des sections coniques.

Les équations qu’il s’agit d’intégrer sont celles-ci, en mettant pour ${\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}$ leurs valeurs $-{\frac {x}{r^{3}}},-{\frac {y}{r^{3}}},-{\frac {z}{r^{3}}},$

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)x}{r^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)y}{r^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)z}{r^{3}}}=0.\end{aligned}}$

On peut intégrer ces équations par différentes méthodes ; celle dont je vais faire usage m’a paru une des plus simples.

Je remarque d’abord que, en supposant les deux premières équations, on peut satisfaire à la troisième en faisant

(A)

$z=bx+cy,$