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des fonctions homogènes de $x,y,z,$ mais de la dimension $-2.$ Donc, par le Théorème connu concernant ces sortes de fonctions, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}z=-2{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\\{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}z=-2{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\\{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}z=-2{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}.\end{aligned}}$

C’est de quoi on peut d’ailleurs s’assurer par la différentiation actuelle. Ces substitutions faites, on verra d’abord que, pour satisfaire aux trois équations dont il s’agit, il suffit de satisfaire à celle-ci

$\mathrm {K} (1+m)=-2(1+m)\mathrm {K} +\mu ,$

laquelle donne

$\mathrm {K} ={\frac {\mu }{3(1+m)}}.$

Donc enfin on aura

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\xi +{\frac {\mu }{3(1+m)}}x,\\\delta y=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\eta +{\frac {\mu }{3(1+m)}}y,\\\delta z=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\zeta +{\frac {\mu }{3(1+m)}}z.\end{aligned}}$

Ce sont les limites cherchées, dont les quantités $\delta x,\delta y,\delta z$ s’approchent d’autant plus que la comète s’éloigne davantage du Soleil.