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${\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=(1+m)\left[{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\left(\delta x-{\frac {\mu }{1+m}}\xi \right)+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\left(\delta y-{\frac {\mu }{1+m}}\eta \right)\right.$

$\left.+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\left(\delta z-{\frac {\mu }{1+m}}\zeta \right)\right]+\mu \left({\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\eta }}+{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}}\right)$

${\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=(1+m)\left[{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\left(\delta x-{\frac {\mu }{1+m}}\xi \right)+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\left(\delta y-{\frac {\mu }{1+m}}\eta \right)\right.$

$\left.+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\left(\delta z-{\frac {\mu }{1+m}}\zeta \right)\right]+\mu \left({\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\zeta }}+{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}\right).$

Or on a, par les équations de la planète $\mu$ (n^o 5),

${\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\xi }}={\frac {1}{1+\mu }}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}},\quad {\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\eta }}={\frac {1}{1+\mu }}{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}},\quad {\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\zeta }}={\frac {1}{1+\mu }}{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\,;$

faisant ces substitutions dans les pénultièmes termes des équations précédentes, on verra incontinent que, si les derniers termes

$\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\quad \mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\quad \mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}$

n’existaient pas, et que l’on eût $\mu =m,$ on satisferait exactement à ces équations, en faisant

$\delta x={\frac {\mu }{1+\mu }}\xi ,\quad \delta y={\frac {\mu }{1+\mu }}\eta ,\quad \delta z={\frac {\mu }{1+\mu }}\zeta .$

Supposons donc

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\xi +\alpha ,\\\delta y=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\eta +\beta ,\\\delta z=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\zeta +\gamma \,;\end{aligned}}$

si l’on substitue ces valeurs, et qu’on rejette les termes qui auraient pour coefficient ${\frac {\mu }{1+\mu }}-{\frac {\mu }{1+m}}={\frac {\mu (m-\mu )}{(1+\mu )(1+m)}},$ d’après l’hypothèse éta-