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de la planète $\mu '$ à celles-ci

{\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu ')\xi '}{\rho '^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu ')\eta '}{\rho '^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu ')\zeta '}{\rho '^{3}}}=0\,;\end{aligned}}

et ainsi pour les autres planètes perturbatrices.

Ces réductions sont fondées, comme l’on voit, sur la supposition que, dans le calcul des perturbations des comètes, on néglige les perturbations des planètes perturbatrices. Si cette supposition n’est pas rigoureusement exacte, elle est du moins permise dans la première approximation, à laquelle nous nous contenterons ici de borner nos Recherches, à l’exemple des grands Géomètres qui ont traité avant nous le Problème des comètes.

5. En considérant les expressions des quantités $r,\rho ,\rho ',\ldots ,\mathrm {R,R'} ,\ldots ,$ il est aisé de voir qu’on peut mettre les équations précédentes sous une forme plus simple que voici :

Pour la comète,

{\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}+\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\xi }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\xi '}}+\ldots ,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dy}}+\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\eta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\eta '}}+\ldots ,\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dz}}+\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\zeta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\zeta '}}+\ldots \,;\end{aligned}}

Pour la planète

\mu ,

{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=(1+\mu ){\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\xi }},\quad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=(1+\mu ){\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\eta }},\quad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=(1+\mu ){\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\zeta }}\,;