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à-dire qui passe par le centre apparent de la Lune ; donc si l’on fait la distance du centre apparent de la Lune au plan de l’équateur lunaire $=\psi \,;$ la distance du méridien qui passe par le centre apparent au premier méridien $=\theta ,$ il n’y aura qu’à mettre, dans l’expression de $\mathrm {R} ,$ $\psi$ au lieu de $\mathrm {P} ,$ et $\theta$ au lieu de $\mathrm {Q} ,$ et faire ensuite sa différentielle égale à zéro, en regardant $\psi$ et $\theta$ comme variables ; ce qui donnera

${\begin{aligned}-2\rho r(\Gamma \cos \psi -\Delta \cos \theta \sin \psi -\Lambda \sin \,\theta \sin \,\psi )&d\psi \\+2\rho r(\Delta \cos \psi \sin \theta -\Lambda \cos \psi \cos \theta )&d\theta =0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire séparément les deux équations

$\Gamma \cos \psi -\Delta \cos \theta \sin \psi -\Lambda \sin \theta \sin \psi =0,\quad \Delta \cos \psi \sin \theta -\Lambda \cos \psi \cos \theta =0\,;$

la dernière donne d’abord

${\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\Lambda }{\Delta }},$

d’où

$\sin \theta ={\frac {\Lambda }{\sqrt {\Lambda ^{2}+\Delta ^{2}}}},\quad \cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {\Lambda ^{2}+\Delta ^{2}}}}\,;$

ensuite la première nous donnera

${\frac {\sin \psi }{\cos \psi }}={\frac {\Gamma }{\Delta \cos \theta +\Lambda \sin \theta }},$

et, en substituant pour $\sin \theta$ et $\cos \theta$ les valeurs qu’on vient de trouver,

${\frac {\sin \psi }{\cos \psi }}={\frac {\Gamma }{\Delta ^{2}+\Lambda ^{2}}}\,;$

d’où l’on tire

$\sin \psi ={\frac {\Gamma }{\sqrt {\Gamma ^{2}+\Delta ^{2}+\Lambda ^{2}}}},\quad \cos \psi ={\frac {\sqrt {\Delta ^{2}+\Lambda ^{2}}}{\sqrt {\Gamma ^{2}+\Delta ^{2}+\Lambda ^{2}}}}\,;$

mais on a par les valeurs de $\Gamma ,\Delta ,\Lambda$ [Article XII, (M)],

$\Gamma ^{2}+\Delta ^{2}+\Lambda ^{2}=1+\lambda ^{2}\,;$

donc, substituant cette valeur, on aura

$\Gamma =\sin \psi {\sqrt {1+\lambda ^{2}}},\quad {\sqrt {\Delta ^{2}+\Lambda ^{2}}}=\cos \psi {\sqrt {1+\lambda ^{2}}},$