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Et, si les forces perturbatrices $\Pi$ et $\Phi$ sont très-petites par rapport à la force principale ${\frac {\mathrm {M} }{x^{2}}},$ on aura à très-peu près

VI.

\qquad {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {1}{k^{2}}}\left(\mathrm {M} +{\frac {\Phi }{u^{2}}}-{\frac {2\mathrm {M} }{k^{2}}}\int {\frac {\Pi d\varphi }{u^{3}}}-{\frac {\Pi du}{u^{3}d\varphi }}\right)=0,

VII.

\quad \qquad \qquad \qquad dt={\frac {d\varphi }{ku^{2}}}\left(1-\int {\frac {\Pi d\varphi }{k^{2}u^{3}}}\right).

Ces formules sont assez connues, mais nous avons cru devoir les rappeler ici pour épargner à nos lecteurs la peine de les aller chercher ailleurs.

11. Pour appliquer maintenant ces formules au mouvement de la Lune, nous supposerons d’abord que cette planète se meuve dans l’écliptique, c’est-à-dire, que nous ferons abstraction de l’inclinaison de son orbite, qu’on sait toujours être fort petite ; il sera ensuite aisé d’y avoir égard si on le juge à propos. Dans cette supposition donc, si l’on nomme $\sigma$ le rayon vecteur de l’orbite du Soleil, $\mathrm {S}$ sa masse et $\eta$ la distance ou l’élongation de la Lune au Soleil, on trouve que l’action du Soleil sur la Lune produit deux forces perturbatrices, l’une dans la direction du rayon vecteur $x$ de l’orbite de la Lune autour de la Terre, laquelle est

\mathrm {S} \left[{\frac {x}{\delta ^{3}}}+\sigma \left({\frac {1}{\sigma ^{3}}}-{\frac {1}{\delta ^{3}}}\right)\cos \eta \right],

l’autre perpendiculaire au même rayon vecteur, et qui est

\mathrm {S} \sigma \left({\frac {1}{\sigma ^{3}}}-{\frac {1}{\delta ^{3}}}\right)\sin \eta ,

$\delta$ étant la distance rectiligne entre la Lune et le Soleil, en sorte que

\delta ={\sqrt {\sigma ^{2}-2\sigma x\cos \eta +x^{2}}}.

Or, comme $\sigma$ est environ quatre cents fois plus grand que $x,$ on aura, avec une approximation suffisante,

{\frac {1}{\delta ^{3}}}={\frac {1}{\sigma ^{3}}}+{\frac {3x\cos \eta }{\sigma ^{4}}}+{\frac {\left(3-15\cos ^{2}\eta \right)x^{2}}{2\sigma ^{5}}}\,;