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enfin la dernière combinaison, qui seule contient $\rho ,$ est, en faisant usage de l’équation (22),

(26)

$\left\{{\begin{aligned}&\rho {\frac {d\rho }{dt}}=\\&p{\frac {d\left(u^{2}-2{\cfrac {\mathrm {A+B+C} }{r}}\right)}{dt}}+p'{\frac {d\left(u'^{2}-2{\cfrac {\mathrm {A+B+C} }{r'}}\right)}{dt}}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +p''{\frac {d\left(u''^{2}-2{\cfrac {\mathrm {A+B+C} }{r''}}\right)}{dt}}\\&+\mathrm {A} p\left(q'{\frac {dp'}{dt}}-q''{\frac {dp''}{dt}}\right)+\mathrm {B} p'\left(q''{\frac {dp''}{dt}}-q{\frac {dp}{dt}}\right)+\mathrm {C} p''\left(q{\frac {dp}{dt}}-q'{\frac {dp'}{dt}}\right).\end{aligned}}\right.$

Supposons que l’on différentie l’équation (23), ce qui fera disparaître l’arbitraire $k,$ et que de l’équation résultante on tire la valeur de $\rho {\frac {d\rho }{dt}}$ pour la substituer dans l’équation (26). Alors, comme $u,u'^{2},u''^{2}$ représentent les valeurs fournies par les équations (13), les équations (6), (25) et (26), qui sont toutes du troisième ordre et ne renferment aucune arbitraire, constitueront, d’après M. Hesse, le système différentiel duquel dépendent les distances $r,r',r'',$ quand on ne fait pas intervenir les principes des forces vives et des aires. Enfin, si des mêmes équations (6), (25) et (26) on tire les valeurs de $d(u^{2}),d(u'^{2}),d(u''^{2}),$ pour les porter dans l’une des équations (24), celle-ci donnera, d’après le même géomètre, une valeur de $\rho$ qui sera seulement du deuxième ordre en portant cette valeur dans l’équation (23) et enjoignant ensuite cette équation aux équations (14) et (26), on obtiendra un système composé de deux équations du deuxième ordre et d’une du troisième ordre, dans lequel figureront les deux constantes arbitraires $f$ et $k.$

Telle est la solution que M. Hesse propose dans son Mémoire. Cette solution paraît, à première vue, beaucoup plus simple que celle de Lagrange, mais il n’est pas difficile de reconnaître l’inexactitude de la conclusion de M. Hesse. Effectivement l’équation (26), après qu’on en a éliminé $\rho {\frac {d\rho }{dt}}$ par l’équation (23) différentiée, n’est pas autre chose que l’équation (6) multipliée par le facteur ${\frac {r^{2}}{\mathrm {A} }}+{\frac {r'^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {r''^{2}}{\mathrm {C} }}\,;$ les trois équations du troisième ordre qui composent le premier système de M. Hesse ne sont donc pas distinctes. Le deuxième système du même géomètre ne saurait, en conséquence, avoir d’existence réelle, puisque les équations du premier système sont impropres à fournir les valeurs des différentielles du troisième ordre, ou, ce qui revient au même, les valeurs des différentielles $d(u^{2}),d(u'^{2}),d(u''^{2}).$ On ne saurait se dispenser, dans la recherche dont nous nous occupons, de tenir compte de l’équation (21), comme Lagrange a eu soin de le faire.

(Note de l’Éditeur.)