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et que l’on ajoute les équations (4), après les avoir élevées au carré, on aura, en faisant usage de la précédente formule, ainsi que des formules (2), (5), (15) et (18),

(23)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{\mathrm {A} ^{2}}}\left[r^{2}u^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {d\left(r^{2}\right)}{dt}}\right)^{2}\right]&+{\frac {1}{\mathrm {B} ^{2}}}\left[r'^{2}u'^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {d\left(r'^{2}\right)}{dt}}\right)^{2}\right]\\&+{\frac {1}{\mathrm {C} ^{2}}}\left[r''^{2}u''^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {d\left(r''^{2}\right)}{dt}}\right)^{2}\right]\\\\+{\frac {2}{\mathrm {BC} }}\left[pv-{\frac {1}{4}}\left({\frac {dp}{dt}}\right)^{2}\right]&+{\frac {2}{\mathrm {CA} }}\left[p'v'-{\frac {1}{4}}\left({\frac {dp'}{dt}}\right)^{2}\right]\\+{\frac {2}{\mathrm {AB} }}&\left[p''v''-{\frac {1}{4}}\left({\frac {dp''}{dt}}\right)^{2}\right]=k^{2}-\mathrm {\frac {A+B+C}{2ABC}} \rho ^{2},\end{aligned}}\right.$

ce qui est l’équation (P) de Lagrange.

Si maintenant on suppose que $u^{2},u'^{2},u''^{2}$ soient remplacés partout par les valeurs tirées des formules (13), et que, par le moyen de l’équation (21), $\rho$ soit éliminé des équations (22) et (23), celles-ci ne contiendront plus que les distances $r,r',r''\,;$ la première sera du troisième ordre et l’autre du deuxième ; en les joignant à l’équation (14), on obtiendra le système différentiel indiqué par Lagrange. Ce qui précède résume la partie essentielle du Mémoire de l’Auteur.

6. Différentions les équations (5) et remplaçons ensuite les différentielles secondes par les valeurs tirées des équations (3) et des analogues on aura, en faisant usage des formules précédentes,

(24)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d(u^{2})}{dt}}&-2(\mathrm {A+B+C} ){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dt}}+\mathrm {A} \left(q'{\frac {dp'}{dt}}-q''{\frac {dp''}{dt}}\right)+\mathrm {A} q\rho =0,\\{\frac {d(u'^{2})}{dt}}&-2(\mathrm {A+B+C} ){\frac {d{\cfrac {1}{r'}}}{dt}}+\mathrm {B} \left(q''{\frac {dp''}{dt}}-q{\frac {dp}{dt}}\right)+\mathrm {B} q'\rho =0,\\{\frac {d(u''^{2})}{dt}}&-2(\mathrm {A+B+C} ){\frac {d{\cfrac {1}{r''}}}{dt}}+\mathrm {C} \left(q{\frac {dp}{dt}}-q'{\frac {dp'}{dt}}\right)+\mathrm {C} q''\rho =0.\end{aligned}}\right.$

Ces formules coïncident avec les équations (I) de Lagrange, quand on tient compte des équations (J) de l’Auteur. M. Hesse leur substitue les trois combinaisons obtenues quand on les ajoute entre elles, après les avoir multipliées respectivement par ${\frac {1}{\mathrm {A} }},{\frac {1}{\mathrm {B} }},{\frac {1}{\mathrm {C} }},$ puis par ${\frac {1}{\mathrm {A} r^{3}}},{\frac {1}{\mathrm {B} r'^{3}}},{\frac {1}{\mathrm {C} r''^{3}}},$ puis enfin par $p,p',p''.$ La première combinaison n’est autre chose que l’équation (6) ; la deuxième combinaison donne, en se servant des formules (12),

(25)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{\mathrm {A} r^{3}}}&{\frac {d\left(u^{2}-2{\cfrac {\mathrm {A+B+C} }{r}}\right)}{dt}}+{\frac {1}{\mathrm {B} r'^{3}}}{\frac {d\left(u'^{2}-2{\cfrac {\mathrm {A+B+C} }{r'}}\right)}{dt}}\\&+{\frac {1}{\mathrm {C} r''^{3}}}{\frac {d\left(u''^{2}-2{\cfrac {\mathrm {A+B+C} }{r''}}\right)}{dt}}-\left(q^{2}{\frac {dp}{dt}}+q'^{2}{\frac {dp'}{dt}}+q''^{2}{\frac {dp''}{dt}}\right)=0\,;\end{aligned}}\right.$