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On aura de même

${\begin{aligned}\mathrm {R} '^{2}=&\rho '^{2}+2\rho \rho '\cos(\nu '-\nu )+\rho ^{2}\left(1+\lambda ^{2}\right)-2\rho '(\mathrm {X} \cos \nu '+\mathrm {Y} \sin \nu ')\\&-\mathrm {2\rho (X\cos \nu +Y\sin \nu +Z\lambda )+X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} \\\\=&\rho '^{2}+2\rho '\rho \cos(\nu '-\nu )+\rho ^{2}\left(1+\lambda ^{2}\right)-2\rho 'r\sin \mathrm {P} \sin(\nu '-\varepsilon )\sin \pi \\&-2\rho 'r\cos \mathrm {P} \sin \mathrm {Q} '\sin(\nu '-\varepsilon )\cos \pi -2\rho 'r\cos \mathrm {P} \cos \mathrm {Q} '\cos(\nu '-\varepsilon )\\&-2\rho r\sin \mathrm {P} \left[\sin(\nu -\varepsilon )\sin \pi +\lambda \cos \pi \right]\\&-2\rho r\cos \mathrm {P} \sin \mathrm {Q} '\left[\sin(\nu -\varepsilon )\cos \pi -\lambda \sin \pi \right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -2\rho r\cos \mathrm {P} \cos \mathrm {Q} '\cos(\nu -\varepsilon )+r^{2}.\end{aligned}}$

Substituant au lieu de $\mathrm {Q} '$ sa valeur $\mathrm {Q} +\omega ,$ et faisant, pour abréger, après avoir développé les sinus et les cosinus de $\mathrm {Q} +\omega ,$

(M)

$\left\{{\begin{aligned}\Gamma \ =&\sin(\nu -\varepsilon )\sin \pi +\lambda \cos \pi ,\\\Delta \ =&\sin \omega \sin(\nu -\varepsilon )\cos \pi +\cos \omega \cos(\nu -\varepsilon )-\lambda \sin \omega \sin \pi ,\\\Lambda \ =&\cos \omega \sin(\nu -\varepsilon )\cos \pi -\sin \omega \cos(\nu -\varepsilon )-\lambda \cos \omega \sin \pi ,\\\Gamma '=&\sin(\nu '-\varepsilon )\sin \pi ,\\\Delta '=&\sin \omega \sin(\nu '-\varepsilon )\cos \pi +\cos \omega \cos(\nu '-\varepsilon ),\\\Lambda '=&\cos \omega \sin(\nu '-\varepsilon )\cos \pi -\sin \omega \cos(\nu '-\varepsilon ),\end{aligned}}\right.$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {R} ^{2}\ =&\rho ^{2}\left(1+\lambda ^{2}\right)-2\rho r\sin \mathrm {P} \times \Gamma -2\rho r\cos \mathrm {P} \cos \mathrm {Q} \times \Delta \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -2\rho r\cos \mathrm {P} \sin \mathrm {Q} \times \Lambda +r^{2},\\\mathrm {R} '^{2}=&\rho '^{2}+2\rho '\rho \cos(\nu '-\nu )+\rho ^{2}\left(1+\lambda ^{2}\right)-2r\sin \mathrm {P} \times (\rho '\Gamma '+\rho \Gamma )\\&-2r\cos \mathrm {P\cos Q} \times (\rho '\Delta '+\rho \Delta )-2r\cos \mathrm {P\sin Q} \times (\rho '\Lambda '+\rho \Lambda )+r^{2}.\end{aligned}}$

XIV.

Je différentie maintenant la valeur de $\mathrm {R} ^{2}$ qu’on vient de trouver, en faisant varier seulement $\omega ,\varepsilon ,\pi ,$ et en écrivant $\delta$ au lieu de $d\,;$ j’aurai, en retenant les lettres $\Gamma ,\Delta ,\Lambda ,$ et divisant par

$\mathrm {R\delta R} =-\rho r\mathrm {\left(\sin P\delta \Gamma +\cos P\cos Q\delta \Delta \cos P\sin Q\delta \Lambda \right)} ,$