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ce qui donne, par l’intégration, l’équation des forces vives, savoir

(7)

$\left({\frac {u^{2}}{\mathrm {A} }}+{\frac {u'^{2}}{\mathrm {B} }}+{\frac {u''^{2}}{\mathrm {C} }}\right)-2(\mathrm {A+B+C} )\left({\frac {1}{\mathrm {A} r}}+{\frac {1}{\mathrm {B} r'}}+{\frac {1}{\mathrm {C} r''}}\right)=f,$

$f$ étant une constante arbitraire.

2. Posons

(8)

$x'x''+y'y''+z'z''=-p,\ \ x''x+y''y+z''z=-p',\ \ xx'+yy'+zz'=-p'',$

ou, ce qui revient au même,

(9)

${\frac {r'^{2}+r''^{2}-r^{2}}{2}}=p,\quad {\frac {r''^{2}+r^{2}-r'^{2}}{2}}=p',\quad {\frac {r^{2}+r'^{2}-r''^{2}}{2}}=p'',$

on aura

(10)

$r^{2}=p'+p'',\quad r'^{2}=p''+p,\quad r''^{2}=p+p'\,;$

faisons en outre

(11)

${\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}=q,\quad {\frac {1}{r''^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}=q',\quad {\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r'^{3}}}=q'',$

ce qui donnera

(12)

$q+q'+q''=0,\quad {\frac {q}{r^{3}}}+{\frac {q'}{r'^{3}}}+{\frac {q''}{r''^{3}}}=0.$

Si l’on différentie deux fois la promière équation (2), après l’avoir élevée au carré, on aura

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{dt^{2}}}=\left(x{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)+u^{2},$

et cette formule subsiste quand on y remplace $x,y,z,r,u$ par $x',y',z',r',u'$ ou par $x'',y'',z'',$ $r'',u''.$ Si donc on multiplie les équations (3) par $x,x',x''$ respectivement, et qu’on ajoute ensuite chacune des équations résultantes avec celles qu’on en déduit par le changement de $x\,;$ en $y$ et en $z,$ on aura, en vertu de la formule précédente,

(13)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{dt^{2}}}\ \,+&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r}}+&\mathrm {A} (p'q'-p''q'')-&u^{2}=&0,\\{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left(r'^{2}\right)}{dt^{2}}}\,+&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r'}}+&\mathrm {B} (p''q''-p'q')-&u'^{2}=&0,\\{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left(r''^{2}\right)}{dt^{2}}}+&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r''}}+&\mathrm {C} (pq-p'q')-&u''^{2}=&0.\end{alignedat}}\right.$

Ces formules (13) répondent aux formules (F) de Lagrange, ou, ce qui revient au même, aux, formules (K), en tenant compte des formules, (J) de l’Auteur.