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et substituant cette valeur de $\mathrm {x}$ aussi bien que celles de $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle$ et $\mathrm {X}$ des Articles précédents, on aura, en négligeant ce qu’on doit négliger,

${\begin{aligned}a&\cos mt\left[-m^{2}+1+4\alpha ^{2}-{\frac {9\alpha ^{2}f^{2}}{2\left(p^{2}-m^{2}\right)}}-9\alpha ^{2}f^{2}(P+P_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {3\alpha ^{2}f^{2}}{p}}\left({\frac {P}{p+m}}+{\frac {P_{1}}{p-m}}\right)+\ldots \right]\\&+\alpha ^{2}\cos 2pt\left[f^{2}A\left(-4p^{2}+1+4\alpha ^{2}-{\frac {9\alpha ^{2}f^{2}}{2\left(p^{2}-4p^{2}\right)}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {9f^{2}}{2}}-{\frac {3\left(1-3\alpha ^{2}\right)f^{2}}{2p^{2}}}+\ldots \right]\\&+\alpha ^{2}\cos(p+q)t\left[fgB\ \left(-(p+q)^{2}+1+4\alpha ^{2}-{\frac {9\alpha ^{2}f^{2}}{2\left[p^{2}-(p+q)^{2}\right]}}\right)\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {3\alpha ^{2}f^{2}gAB_{1}}{4}}-9fg-{\frac {3fg\left(1-3\alpha ^{2}\right)}{pq}}+\ldots \right]\\&+\alpha ^{2}\cos(p-q)t\left[fgB_{1}\left(-(p-q)^{2}+1+4\alpha ^{2}-{\frac {9\alpha ^{2}f^{2}}{2\left[p^{2}-(p-q)^{2}\right]}}\right)\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {3\alpha ^{2}f^{3}gAB}{4}}-9fg+{\frac {3fg\left(1-3\alpha ^{2}\right)}{pq}}+\ldots \right]\\&+\alpha ^{2}a\cos(2p+m)t\left[f^{2}C\ \left[-(2p+m)^{2}+1+4\alpha ^{2}\right]-{\frac {3f^{2}A}{4}}-9f^{2}P\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {3f^{2}P}{p(p+m)}}+{\frac {9f^{2}}{4(p+m)(2p+m)}}+\ldots \right]\\&+\alpha ^{2}a\cos(2p-m)t\left[f^{2}C_{1}\left[-(2p-m)^{2}+1+4\alpha ^{2}\right]-{\frac {3f^{2}A}{4}}-9f^{2}P_{1}\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {3f^{2}P_{1}}{p(p-m)}}+{\frac {9f^{2}}{4(p-m)(2p-m)}}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Ainsi il n’y aura plus qu’à égaler à zéro les coefficients de ces différents cosinus, pour déterminer les inconnues $m,A,B,B',C_{1},C'_{1},\ldots .$

Le coefficient de $\cos mt$ donnera la valeur de $m$ exacte jusqu’aux quantités de l’ordre de $\alpha ^{2}$ inclusivement, et l’on aura, à cause de $P=-{\frac {1}{4}}$ et $P_{1}={\frac {3}{4}}$ (Article précédent), l’équation

$-m^{2}+1+4\alpha ^{2}-{\frac {9\alpha ^{2}f^{2}}{2\left(p^{2}-m^{2}\right)}}-{\frac {3\alpha ^{2}f^{2}}{4p(p+m)}}+{\frac {9\alpha ^{2}f^{2}}{4p(p-m)}}-{\frac {9\alpha ^{2}f^{2}}{2}}=0,$

ou bien

$-m^{2}+1+4\alpha ^{2}-{\frac {3\alpha ^{2}f^{2}}{p(p+m)}}-{\frac {9\alpha ^{2}f^{2}}{2}}=0,$

d’où, en mettant pour $f,p$ et $m$ leurs valeurs approchées $1,$ on tire

$m^{2}=1-2\alpha ^{2}\quad {\text{et}}\quad m=1-\alpha ^{2}\,;$

de sorte que le mouvement de l’apogée $(h-m)t$ deviendra ${\frac {3\alpha ^{2}}{4}}t,$ à cause de $h=1-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}.$

Comme notre dessein n’est point de donner ici une Théorie complète de la Lune, nous nous contenterons de ce léger essai, qui peut suffire pour donner une idée de la méthode qu’il faudra suivre dans l’intégra-