Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/324

4^o $P_{1}\left[-(p-m)^{2}+2+\alpha ^{2}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{(p-m)^{2}}}\right]$

$-{\frac {3}{4}}\left[1+{\frac {p}{p-m}}-{\frac {1}{(p-m)^{2}}}-{\frac {1-3\alpha ^{2}}{p(p-m)}}\right]=0\,;$

5^o$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;$

d’où l’on tire à peu près

$P=-{\frac {1}{4}},\quad P_{1}={\frac {3}{4}},\quad Q=-{\frac {1}{4}},\quad Q_{1}={\frac {3}{4}},\ldots .$

XLIX.

On repassera présentement à l’équation $(\zeta )$ pour trouver une valeur de $\mathrm {x}$ plus exacte que celle de l’Article XLVII.

Pour cet effet, on commencera par substituer dans les termes de cette dernière équation qui suivent les deux premiers, à la place de $\mathrm {x,X}$ et $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle ,$ leurs valeurs trouvées dans les Articles précédents, et négligeant les quantités de l’ordre de $g^{2},$ aussi bien que celles qui seraient affectées de $\alpha ^{2}$ multipliée par $a^{2},a\alpha ^{2},b^{2},b\alpha ^{2}$ et $\alpha ^{4},$ à cause que nous avons rejeté dans la même équation les termes de l’ordre $\alpha ^{2}$ dans lesquels $\mathrm {x}$ et $\mathrm {X}$ pouvaient former ensemble des produits de deux dimensions, on aura par ces substitutions des termes de la forme

${\begin{array}{lll}a^{2}f^{2}\cos 2pt,&\alpha ^{2}fg\cos(p\pm q)t,&\alpha ^{2}af^{2}\cos(p\pm m\pm p)t,\\\alpha ^{2}agf\cos(p\pm m\pm q)t,&a^{4}f^{4}\cos 4pt,&\alpha ^{4}f^{3}g\cos(3p\pm q)t,\\\alpha ^{2}bf^{2}\cos(2p\pm n)t,&a^{2}b\cos nt,&\alpha ^{2}bgf\cos(p\pm q\pm n)t\,;\end{array}}$

c’est pourquoi on supposera

${\begin{aligned}\mathrm {x} =&a\cos mt+\alpha f^{2}A\cos 2pt\\&+a^{2}fgB\cos(p+q)t+\alpha ^{2}fgB_{1}\cos(p-q)t\\&+\alpha ^{2}af^{2}C\cos(2p+m)t+\alpha ^{2}af^{2}C_{1}\cos(2p-m)t\\&+\alpha ^{2}agfD\cos(p+q+m)t+\alpha ^{2}agf\cos(p+q-m)t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$