Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/314

XLV.

Comme les variables $\mathrm {x}$ et $\mathrm {X}$ sont supposées fort petites vis-à-vis de la variable \scriptstyle\mathrm Y\displaystyle qui est finie, on peut d’abord négliger dans l’équation $(\eta )$ les termes qui renferment $\mathrm {x}$ et $\mathrm {X} \,;$ on aura ainsi cette première équation approchée

${\frac {d^{2}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt^{2}}}+\left(2+\alpha ^{2}\right)\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle +\left(1-3\alpha ^{2}\right)\int dt\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt=\mathrm {const} .,$

laquelle étant différentiée deux fois devient

${\frac {d^{4}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt^{4}}}+\left(2+\alpha ^{2}\right){\frac {d^{2}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt^{2}}}+\left(1-3\alpha ^{2}\right)\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =0,$

qui est intégrable par les méthodes connues.

Pour en trouver l’intégrale, il n’y a qu’à supposer $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =f\cos(pt+a),$ ou bien, puisqu’on veut que ${\frac {d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt}}=0$ lorsque $t=0,$ on fera simplement

$\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =f\cos pt,$

et l’on aura, après les substitutions, cette équation en $p$

$p^{4}-\left(2+\alpha ^{2}\right)p^{2}+1-3\alpha ^{2}=0,$

d’où l’on tire

$p^{2}=1+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\pm 2\alpha {\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{16}}}},$

ou bien, en négligeant les puissances de $\alpha$ plus hautes que la seconde,

$p^{2}=1\pm 2\alpha +{\frac {\alpha ^{2}}{2}},$

et

$p=1\pm \alpha -{\frac {\alpha ^{2}}{4}}.$

Donc, dénotant par $p$ l’une de ces valeurs et par $q$ l’autre, on aura

$\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =f\cos pt+g\cos qt,$

$f$ et $g$ étant des constantes indéterminées qui doivent être telles, que lorsque $t=0$ on ait $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle =\mathrm {R} r=1\,;$ ce qui donne $f+g=1.$