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XLIV.

Négligeons encore les produits de deux ou de plusieurs dimensions de $\mathrm {x}$ et $\mathrm {X} ,$ on aura, à la place des équations précédentes, celles-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{dt}}=&\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle \left(1-3\alpha ^{2}-{\frac {3\mathrm {x} }{2}}+{\frac {9\alpha ^{2}\mathrm {X} }{2}}\right),\\\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} }{dt^{2}}}&+\left(1+4\alpha ^{2}\right)\mathrm {x} -{\frac {3\mathrm {x} ^{2}}{4}}\\&-2\alpha ^{2}\left[3\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle \left(1-{\frac {5\mathrm {X} }{2}}\right)+{\frac {3\mathrm {X} }{2}}+3\int \left(1-{\frac {5\mathrm {X} }{2}}\right)\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle -\sigma dt)\right]=\mathrm {const} .,\\\\{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}&+\alpha ^{2}\mathrm {X} =\mathrm {const} .,\\\\{\frac {d^{2}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt^{2}}}&+\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle \left(1+\alpha ^{2}-{\frac {3\mathrm {x} }{2}}-{\frac {3\alpha ^{2}\mathrm {X} }{2}}\right)+\int \left(1-{\frac {3\mathrm {x} }{2}}\right)(d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle +\sigma dt)=\mathrm {const} .,\end{aligned}}$

lesquelles, en substituant la valeur de $\sigma ,$ se réduisent à ces trois-ci

$(\varepsilon )\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}+\alpha ^{2}\mathrm {X} =\mathrm {const} .,$

$(\zeta )\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} }{dt^{2}}}&+\left(1+4\alpha ^{2}\right)\mathrm {x} -{\frac {3\mathrm {x} ^{2}}{2}}\\&-3\alpha ^{2}\left[3\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle -\left(1-3\alpha ^{2}\right)\left(\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt\right)^{2}+3\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle \mathrm {x} dt\right]\\&+3\alpha ^{2}\left\{{\begin{aligned}&\left(5\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle -1\right)\mathrm {X} +5\int \mathrm {X} \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle +9\alpha ^{2}\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle \mathrm {X} dt\\&\quad -5\left(1-3\alpha ^{2}\right)\int \mathrm {X} \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt\end{aligned}}\right\}=\mathrm {const} .,\end{aligned}}\right.$

$(\eta )\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt^{2}}}&+\left(2+\alpha ^{2}\right)\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle +\left(1-3\alpha ^{2}\right)\int dt\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt\\&-{\frac {3}{2}}\left[\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle \mathrm {x} +\int \mathrm {x} d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle +\int dt\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle \mathrm {x} dt+\left(1-3\alpha ^{2}\right)\int \mathrm {x} dt\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle dt\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {3\alpha ^{2}}{2}}\left(\mathrm {X} \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle -3\int dt\int \scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle \mathrm {X} dt\right)=\mathrm {const} .\end{aligned}}\right.$