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${\begin{alignedat}{4}(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}}=&1-&{\frac {3\mathrm {X} }{2}}+&{\frac {15\mathrm {X} ^{2}}{8}}&-&{\frac {35\mathrm {X} ^{3}}{16}}&+&\ldots ,\\(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}=&1-&{\frac {5\mathrm {X} }{2}}+&{\frac {35\mathrm {X} ^{2}}{8}}&-&{\frac {105\mathrm {X} ^{3}}{16}}&+&\ldots ,\\(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {7}{2}}}=&1-&{\frac {7\mathrm {X} }{2}}+&{\frac {63\mathrm {X} ^{2}}{8}}&-&\ldots ,\\(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {9}{2}}}=&1-&{\frac {9\mathrm {X} }{2}}+&{\frac {99\mathrm {X} ^{2}}{8}}&-&\ldots .\end{alignedat}}$

De sorte qu’en substituant ces valeurs dans les équations précédentes, et mettant de plus dans les trois dernières la valeur de $t$irée de la première par l’intégration, on aura trois équations en $\mathrm {x,X} ,\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle$ et $t,$ qui seront intégrables, du moins par approximation, par les méthodes connues, puisque les variables $\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle$ seront toutes sous une forme rationnelle et entière.

XLII.

Ensuite on aura (Article XXXVI)

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ =&{\frac {d^{2}\mathrm {x} }{2dt^{2}}}+(1+\mathrm {x} )^{-{\frac {1}{2}}}-\alpha ^{2}\left[3\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {5}{2}}}-(1+\mathrm {x} )(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}}\right],\\\mathrm {M} =&{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{2dt^{2}}}+\alpha ^{2}(1+\mathrm {X} )^{-{\frac {1}{2}}},\\\mathrm {N} \ =&{\frac {d^{2}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt^{2}}}+\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {x} )^{-{\frac {3}{2}}}-\alpha ^{2}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {X} )^{-{\frac {3}{2}}},\end{aligned}}$

et de là

${\begin{aligned}\lambda =&\mathrm {M} \left[(1+\mathrm {x} )(1+\mathrm {X} )-\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle \right]-{\frac {1}{4}}(1+\mathrm {X} )\left({\frac {d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt}}+\sigma \right)^{2}\\&+{\frac {1}{2}}\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dt}}\left({\frac {d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt}}+\sigma \right)-{\frac {1}{4}}(1+\mathrm {x} ){\frac {d^{2}\mathrm {X} ^{2}}{dt^{2}}}\\&+i{\text{ϐ}}\alpha ^{2}\left[\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle (1+\mathrm {x} )^{-{\frac {1}{2}}}(1+\mathrm {X} )-\scriptstyle \mathrm {Y} ^{3}\displaystyle (1+\mathrm {x} )^{-{\frac {3}{2}}}\right],\\\mu =&\mathrm {N} \left[(1+\mathrm {x} )(1+\mathrm {X} )-\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle \right]-{\frac {\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{2}}\left(\sigma ^{2}+{\frac {d\scriptstyle \mathrm {Y} ^{2}\displaystyle }{dt^{2}}}-{\frac {d\mathrm {x} d\mathrm {X} }{dt^{2}}}\right)\\&-{\frac {1}{2}}(1+\mathrm {X} ){\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\left({\frac {d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt}}+\sigma \right)-{\frac {1}{2}}(1+\mathrm {x} ){\frac {d\mathrm {X} }{dt}}\left({\frac {d\scriptstyle \mathrm {Y} \displaystyle }{dt}}-\sigma \right)\,;\end{aligned}}$