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Or, comme $pq$ est une quantité très-petite de l’ordre de $i^{2},$ et que $p'q',$ $p''q''$ sont des quantités fort grandes de l’ordre de ${\frac {1}{i}},$ il est clair qu’en substituant les valeurs de ces quantités dans l’équation $(\mathrm {H} )$ les termes $\mathrm {C} pq,\mathrm {B} p'q',\mathrm {A} p''q''$ ne pourront être homogènes, à moins que la masse $\mathrm {C}$ ne soit infiniment grande de l’ordre ${\frac {1}{i^{3}}}$ vis-à-vis des deux autres.

Supposons donc $\mathrm {C} ={\frac {\mathrm {D} }{i^{3}}}$ et l’équation $(\mathrm {H} )$ de l’Article XXII deviendra, après les substitutions,

${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}+{\frac {1}{i}}\left[{\frac {\mathrm {(A+B)R} }{r^{3}}}-\mathrm {\frac {3D}{R^{2}}} \right]z-{\frac {\mathrm {B} }{r}}-{\frac {\mathrm {D} \left(9z^{2}-3r^{2}\right)}{2\mathrm {R} ^{3}}}$

$-{\frac {i\mathrm {D} \left(20z^{3}-12zr^{2}\right)}{4\mathrm {R} ^{4}}}-\ldots =0\,;$

d’où l’on voit que la quantité ${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}$ est de l’ordre de ${\frac {1}{i}},$ de sorte que la quantité ${\frac {d\rho }{dt}}$ sera aussi du même ordre.

Donc, si l’on fait, pour abréger,

$(f)\quad {\frac {d\sigma }{dt}}=\left[{\frac {\mathrm {(A+B)R} }{r^{3}}}-\mathrm {\frac {3D}{R^{2}}} \right]z-i\left[{\frac {\mathrm {B} }{r}}+{\frac {3\mathrm {D} \left(3z^{2}-r^{2}\right)}{2\mathrm {R} ^{3}}}\right]$

$-i^{2}\left[{\frac {\mathrm {D} \left(10z^{3}-6zr^{2}\right)}{\mathrm {R} ^{4}}}\right]-\ldots ,$

on aura

${\frac {d\rho }{dt}}=-{\frac {\sigma }{i}},$

et il faudra prendre la valeur de $\sigma$ telle, qu’elle soit nulle lorsque $t=0$.

XXXV.

${\begin{aligned}qdp\ \ \ =&-{\frac {6i^{2}zd\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {i^{3}\left[\left(15z^{2}-3r^{2}\right)d\mathrm {R} -3zd(\mathrm {R} z)\right]}{\mathrm {R} ^{4}}}-\ldots \\q'\,dp'\,=&-{\frac {d(\mathrm {R} z)}{ir^{3}}}+{\frac {2dr}{r^{2}}}+{\frac {i^{2}d(\mathrm {R} z)}{\mathrm {R} ^{3}}}+{\frac {i^{3}\left[3z(d\mathrm {R} z)-\mathrm {R} d\left(r^{2}\right)\right]}{\mathrm {R} ^{4}}}\\&+{\frac {i^{4}\left[\left(15z^{2}-3r^{2}\right)d(\mathrm {R} z)-6\mathrm {R} zd\left(r^{2}\right)\right]}{2\mathrm {R} ^{5}}}\\&+{\frac {i^{5}\left[\left(35z^{3}-15zr^{2}\right)d(\mathrm {R} z)-\left(15z^{2}-3r^{2}\right)\mathrm {R} d\left(r^{2}\right)\right]}{2\mathrm {R} ^{6}}}+\ldots ,\\q''dp''=&-{\frac {d(\mathrm {R} z)}{ir^{3}}}+{\frac {i^{2}d(\mathrm {R} z)}{\mathrm {R} ^{3}}}.\end{aligned}}$