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de sorte que toutes les quantités précédentes $\mathrm {P} ,\Sigma ,\ldots$ seront nulles, et conséquemment l’équation $(\mathrm {N} )$ se trouvera vérifiée d’elle-même.

XXXII.

Maintenant il est clair qu’à cause de $\alpha =0$ et $\lambda =0$ les trois équations différentielles de l’Article XXIX se réduiront à celle-ci

${\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {F} }{f}}-f=0,$

en faisant, pour abréger,

$\mathrm {F=A+B+C} (1-\mu '\varpi '+\mu ''\varpi ''),$

$f=\mathrm {C} k={\frac {\mathrm {B} k'}{m^{2}}}={\frac {\mathrm {A} k''}{n^{2}}}.$

Cette équation étant donc multipliée par $d(r^{2}),$ et ensuite intégrée, donnera

$\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}-2\mathrm {F} r-fr^{2}=\mathrm {H} ,$

$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire

$dt={\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +2\mathrm {F} r+fr^{2}}}},$

moyennant quoi on déterminera $t$ en $r,$ et par conséquent $r$ en $t.$

De plus, si dans les équations $(\mathrm {J} )$ de l’Article XXII on substitue les valeurs de $\mathrm {Q,Q',Q''}$ de l’Article XXIX on aura, en vertu des équations du groupe 1^o du même Article,

$u^{2}={\frac {2\mathrm {F} }{r}}+f,\quad u'^{2}={\frac {2m^{2}\mathrm {F} }{r}}+m^{2}f,\quad u''^{2}={\frac {2n^{2}\mathrm {F} }{r}}+n^{2}f\,;$

donc

$v={\frac {2\mu \mathrm {F} }{r}}+\mu f,\quad v'={\frac {2\mu '\mathrm {F} }{r}}+\mu 'f,\quad v''={\frac {2\mu ''\mathrm {F} }{r}}+\mu ''f.$