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d’ailleurs on a

$4\mathrm {P} =3r^{4},\quad {\text{et}}\quad u=u'=u''\,;$

donc on aura

$4\mathrm {P} u^{2}-\Sigma =0,\quad 4\mathrm {P} u'^{2}-\Sigma '=0,\quad 4\mathrm {P} u''^{2}-\Sigma ''=0\,;$

et par conséquent

$\sin \psi =0,\quad \sin \psi '=0,$

c’est-à-dire,

$\psi =0,\quad \psi '=0\,;$

ce qui montre que les Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ doivent se mouvoir dans un même plan fixe passant par le Corps $\mathrm {A} .$

Maintenant, si l’on substitue dans les expressions de ${\frac {d\varphi }{dt}}$ et ${\frac {d\varphi '}{dt}}$ les valeurs de $\Pi ,\Pi ',\Psi ,\Psi ',\Psi ''$ et de $h$ trouvées ci-dessus, on aura

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {d\varphi '}{dt}}={\frac {\alpha }{r^{2}{\sqrt {3}}}}\,;$

et par conséquent, en substituant la valeur ci-dessus de $dt,$

$d\varphi ={\frac {dr}{r{\sqrt {-1+\mathrm {\cfrac {6(A+B+C)}{\alpha ^{2}}} r+{\cfrac {3f}{\alpha ^{2}}}r^{2}}}}},$

qui est l’équation polaire d’une section conique rapportée au foyer, et dans laquelle ${\frac {2(\mathrm {A+B+C} )}{-f}}$ est le grand axe et ${\frac {2\alpha ^{2}}{3(\mathrm {A+B+C} )}}$ le paramètre.

Ainsi les Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ décriront dans ce cas autour du Corps $\mathrm {A}$ deux sections coniques semblables et égales, dont l’espèce et la forme dépendront des quantités arbitraires $f$ et $\alpha ,$ lesquelles pourront se déterminer par les équations

$\alpha ^{2}=3r^{2}u^{2}-3\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2},\quad f=u^{2}-{\frac {2(\mathrm {A+B+C} )}{r}},$

en donnant à $u,r$ et ${\frac {dr}{dt}}$ les valeurs qui conviennent au premier instant.