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donc, en intégrant,

${\begin{aligned}\mathrm {Q} \ \,=&-{\frac {2(\mu '\varpi '-\mu ''\varpi '')}{r}}-\varpi \ \,\int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}+k,\\\mathrm {Q} '\,=&-{\frac {2(\mu \varpi \ \ \,+\mu ''\varpi '')}{r}}+\varpi '\,\int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}+k',\\\mathrm {Q} ''=&-{\frac {2(-\mu \varpi -\mu '\varpi '\ )}{r}}+\varpi ''\int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}+k'',\end{aligned}}$

$k,k'$ et $k''$ étant des constantes arbitraires.

Faisant toutes ces substitutions dans les équations $(\mathrm {K} ),$ et divisant ensuite la seconde par $m^{2}$ et la troisième par $n^{2},$ elles deviendront celles-ci

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}&-{\frac {\mathrm {A+B+C} (1-\mu '\varpi '+\mu ''\varpi '')}{r}}\\&\qquad \qquad \qquad +\mathrm {C} \varpi \int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}-\mathrm {C} k=0,\\{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}&-{\frac {\mathrm {A+C+B} \left[1-(\mu \varpi +\mu ''\varpi '')m\right]}{m^{3}r}}\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {\mathrm {B} \varpi '}{m^{2}}}\int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}-{\frac {\mathrm {B} k'}{m^{2}}}=0,\\{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}&-{\frac {\mathrm {B+C+A} \left[1+(\mu \varpi +\mu '\varpi ')n\right]}{n^{3}r}}\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {\mathrm {A} \varpi ''}{n^{2}}}\int \left(\alpha -\lambda \int {\frac {dt}{r}}\right){\frac {dt}{r^{3}}}-{\frac {\mathrm {A} k''}{n^{2}}}=0,\end{aligned}}$

lesquelles devront être identiques ; de sorte qu’on aura ces conditions à remplir

1^o$\quad \mathrm {A+B+C} (1-\mu '\varpi '+\mu ''\varpi '')={\frac {\mathrm {A+C+B} \left[1-(\mu \varpi +\mu ''\varpi '')m\right]}{m^{3}}}$

$={\frac {\mathrm {B+C+A} \left[1+(\mu \varpi +\mu '\varpi ')n\right]}{n^{3}}}$

2^o$\quad \qquad \mathrm {C} \varpi =-{\frac {\mathrm {B} \varpi '}{m^{2}}}=-{\frac {\mathrm {A} \varpi ''}{n^{2}}}\quad {\text{ou bien}}\quad \alpha =0\quad {\text{et}}\quad \lambda =0$

3^o$\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {C} k={\frac {\mathrm {B} k'}{m^{2}}}={\frac {\mathrm {A} k''}{n^{2}}}.$

Ces deux dernières conditions peuvent toujours se remplir par le moyen des constantes indéterminées $k,k'$ et $k''$ ; ainsi la difficulté ne consiste qu’à satisfaire à celles des groupes 1^o et 2^o.

Or, si l’on fait, pour abréger,

$\delta =\mu \mu '+\mu \mu ''+\mu '\mu ''$

$=-{\frac {1}{4}}(1+m+n)(1+m-n)(1-m+n)(1-m-n),$