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de sorte que l’équation $(\mathrm {N} )$ deviendra

$16\mathrm {PU} -4\left(r^{2}v+r'^{2}v'+r''^{2}v''\right)\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)^{4}=0\,;$

mais à cause de $r''^{2}=(r'-r)^{2}$ on aura $\mathrm {P} =0\,;$ donc aussi ${\frac {d\rho }{dt}}=0.$ Ainsi il faudra prendre la valeur de ${\frac {d\rho }{dt}},$ en sorte qu’elle devienne nulle lorsque $t=0$^[1].

L’équation $(\mathrm {P} )$ se simplifiera aussi beaucoup par les mêmes suppositions, et elle deviendra

(P')

$h^{2}={\frac {r^{2}u^{2}}{\mathrm {C} ^{2}}}+{\frac {r'^{2}u'^{2}}{\mathrm {B} ^{2}}}+{\frac {r''^{2}u''^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}}+2\left({\frac {pv}{\mathrm {AB} }}+{\frac {p'v'}{\mathrm {AC} }}+{\frac {p''v''}{\mathrm {BC} }}\right),$

où il faudra prendre pour $r,r',r'',$ $u,u',u''$ les valeurs qui répondent à $t=0.$

Quant aux constantes qui pourront entrer dans les valeurs de $\mathrm {Q,Q'}$ et $\mathrm {Q} '',$ elles seront entièrement arbitraires et ne dépendront que des valeurs initiales de $u,u',u'',$ qui sont à volonté.

Enfin, si l’on nomme encore

$d\theta \ \ \,$ l’angle élémentaire décrit par le Corps $\mathrm {B}$ autour du Corps $\mathrm {A}$ dans
$\quad$l’instant $dt,$

$d\theta '\ \,$ l’angle correspondant décrit par le corps $\mathrm {C}$ autour de $\mathrm {A} ,$

$\omega \quad \,$ l’inclinaison mutuelle des orbites des Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ autour de $\mathrm {A} ,$

$\xi \ \quad$ la distance du Corps $\mathrm {B}$ au nœud de ces deux orbites,

$\xi '\quad$ la distance du Corps $\mathrm {C}$ au même nœud,

on aura

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\sqrt {\Pi }}{r^{2}}},\quad {\frac {d\theta '}{dt}}={\frac {\sqrt {\Pi '}}{r'^{2}}},$

$\cos \omega ={\frac {\Psi ''}{\sqrt {\Pi \,\Pi '}}},\quad \sin \xi ={\frac {\sqrt {4\mathrm {P} u'^{2}-\Sigma '}}{2r\sin \omega {\sqrt {\Pi '}}}},\quad \sin \xi '={\frac {\sqrt {4\mathrm {P} u^{2}-\Sigma }}{2r'\sin \omega {\sqrt {\Pi }}}}.$

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1. Il faut remarquer que, dans le cas dont il s’agit ici, l’équation $(\mathrm {N} )$ est encore satisfaite si l’on prend
   $\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)^{2}=4\left(r^{2}v+r'^{2}v'+r''^{2}v''\right).$
   (Note de l’Éditeur.)