Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/272

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

et

\sin \psi '={\frac {{\cfrac {1}{\mathrm {C} }}{\sqrt {4\mathrm {P} u^{2}-\Sigma }}+{\cfrac {1}{\mathrm {A} }}{\sqrt {4\mathrm {P} u''^{2}-\Sigma ''}}}{2hr'}},\quad {\frac {d\varphi '}{dt}}={\frac {\mathrm {{\cfrac {\Pi '}{B}}+{\cfrac {\Psi }{A}}+{\cfrac {\Psi ''}{C}}} }{hr'^{2}\cos ^{2}\psi '}}.

Il faut remarquer que ces formules renferment deux constantes qui ne sont pas arbitraires, mais qui doivent être déterminées par des équations particulières ; ce sont l’une la constante $h,$ et l’autre la constante qui peut être ajoutée à la valeur de ${\frac {d\rho }{dt}}$ déduite de l’équation $(\mathrm {H} )$ par la voie de l’intégration.

Voici donc les équations qui serviront à déterminer ces constantes

(N)

16\mathrm {PU} -4(\Sigma v+\Sigma 'v'+\Sigma ''v'')+\left({\frac {dpdp'+dpdp''+dp'dp''+d\rho ^{2}}{dt^{2}}}\right)^{2}=0,

en supposant

{\begin{aligned}\mathrm {U} =&vv'+vv''+v'v''=u^{2}u'^{2}-v''^{2}\\=&{\frac {1}{4}}\left(2u^{2}u'^{2}+2u^{2}u''^{2}+2u'^{2}u''^{2}-u^{4}-u'^{4}-u''^{4}\right)\end{aligned}}

et

(P)

\mathrm {{\frac {\Pi }{C^{2}}}+{\frac {\Pi '}{B^{2}}}+{\frac {\Pi ''}{A^{2}}}+2\left({\frac {\Psi }{AB}}+{\frac {\Psi '}{AC}}+{\frac {\Psi ''}{BC}}\right)} =h^{2}.

On pourrait, si l’on voulait, employer ces équations à la place de deux quelconques des équations $(\mathrm {K} )$ ; mais, comme elles sont assez compliquées, il vaudra mieux ne s’en servir que dans la détermination des constantes dont il s’agit ; et pour cela il est clair qu’on y pourra supposer partout $t=0$ .

Or si, pour plus de simplicité, on suppose que, lorsque $t=0,$ on ait ${\frac {dr}{dt}}=0,{\frac {dr'}{dt}}=0,$ et que de plus les rayons $r,r'$ coïncident, en sorte que l’angle compris entre ces rayons (Article XIX) soit nul, ce qui est toujours permis lorsque cet angle est variable, on aura, à cause de $r''^{2}=r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos \zeta ''$ (Article cité),

r''^{2}=(r'-r)^{2},\quad {\frac {dp''}{dt}}=0\,;

donc

{\frac {dp}{dt}}=0,\quad {\frac {dp'}{dt}}=0,\quad {\frac {dp''}{dt}}=0\,;