Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/270

on aura, en prenant l’élément du temps $dt$ pour constant,

(H)

${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}+\mathrm {C} pq-\mathrm {B} p'q'-\mathrm {A} p''q''=0\,;$

(I)

$\left\{{\begin{aligned}d\mathrm {Q} \ \,=&\ \ \ \,q'dp-q''dp''-qd\rho ,\\d\mathrm {Q} '\,=&\ \quad qdp+q''dp''+q'd\rho ,\\d\mathrm {Q} ''=&-qdp-q'\,dp'\,+q''d\rho \,;\end{aligned}}\right.$

(K)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}-&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r}}-&\mathrm {C} (p'q'-p''q''+\mathrm {Q} )=&0,\\{\frac {d^{2}\left(r'^{2}\right)}{2dt^{2}}}-&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r'}}-&\mathrm {B} (pq-p''q''+\mathrm {Q} ')=&0,\\{\frac {d^{2}\left(r''^{2}\right)}{2dt^{2}}}-&{\frac {\mathrm {A+B+C} }{r''}}-&\mathrm {A} (-pq-p'q'+\mathrm {Q} '')=&0.\end{alignedat}}\right.$

Ces équations serviront à déterminer les valeurs des distances $r,r',r''$ en $t\,;$ après quoi on pourra trouver directement et sans aucune intégiration les valeurs de tous les autres éléments, d’où dépend la détermination des orbites des Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ autour du Corps $\mathrm {A} .$

En effet, si l’on nomme

$\left.{\begin{aligned}&u,\\&u',\\&u'',\end{aligned}}\right\}$ la vitesse du Corps $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {B} ,\\&\mathrm {C} ,\\&\mathrm {C} ,\end{aligned}}\right.$ autour de $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {A} ,\\&\mathrm {A} ,\\&\mathrm {B} ,\end{aligned}}\right.$

on aura d’abord

(J)

$\left\{{\begin{aligned}u^{2}\ \,=&{\frac {2(\mathrm {A+B+C} )}{r}}+\mathrm {CQ} ,\\u'^{2}\,=&{\frac {2(\mathrm {A+B+C} )}{r'}}+\mathrm {BQ'} ,\\u''^{2}\,=&{\frac {2(\mathrm {A+B+C} )}{r''}}+\mathrm {AQ''} .\end{aligned}}\right.$

Si l’on nomme ensuite

$\varphi \quad$ l’angle parcouru par le Corps $\mathrm {B}$ autour de $\mathrm {A}$ dans un plan supposé fixe et passant par $\mathrm {A} ,$ c’est-à-dire, la longitude de $\mathrm {B} ,$