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d’où, à cause de l’ambiguïté des signes, on tire

$-\cos \omega =\lambda \varpi +\mu \nu ,\quad 1+\cos ^{2}\omega =\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}+\varpi ^{2}\,;$

de sorte qu’éliminant $\cos \omega$ on aura

$1+(\lambda \varpi +\mu \nu )^{2}=\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}+\varpi ^{2}.$

Si l’on substitue dans cette équation les valeurs de $\lambda ,\mu ,\nu ,\varpi ,$ comme aussi celles de $d\theta$ et de $d\theta ',$ on aura une équation qui sera la même que l’équation $(\mathrm {N} )$ de l’Article X ; ce qui peut servir à confirmer la bonté de nos calculs.

L’équation

$-\cos \omega =\lambda \varpi +\mu \nu$

donnera

$\cos \omega ={\frac {p''v''dt^{2}-d\mathrm {V} d\mathrm {V} '}{r^{2}r'^{2}d\theta id\theta '}}={\frac {\Psi ''}{\sqrt {\Pi \,\Pi '}}},$

ce qui fera connaître l’inclinaison $\omega$ des deux orbites.

Connaissant $\omega ,$ on connaîtra aisément $\xi$ et $\xi '\,;$ car, en multipliant les deux équations

${\begin{aligned}\cos(\xi +\xi ')(1-\cos \omega )=&\lambda +\varpi ,\\\cos(\xi -\xi ')(1+\cos \omega )=&\lambda -\varpi \end{aligned}}$

l’une par l’autre, on aura celle-ci

${\frac {1}{2}}(\cos 2\xi +\cos 2\xi ')\sin ^{2}\omega =\lambda ^{2}-\varpi ^{2}\,;$

et de même les deux autres équations

$\sin(\xi +\xi ')(1-\cos \omega )=\mu +\nu ,\quad \sin(\xi -\xi ')(1+\cos \omega )=\mu -\nu ,$

étant multipliées ensemble, donneront

$-{\frac {1}{2}}(\cos 2\xi -\cos 2\xi ')\sin ^{2}\omega =\mu ^{2}-\nu ^{2},$

d’où l’on tire

$\cos 2\xi ={\frac {\lambda ^{2}-\varpi ^{2}-\mu ^{2}+\nu ^{2}}{\sin ^{2}\omega }},\quad \cos 2\xi '={\frac {\lambda ^{2}-\varpi ^{2}+\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\sin ^{2}\omega }},$