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et de même

$d\theta '={\frac {\sqrt {u'^{2}dt^{2}-dr'^{2}}}{r'}}={\frac {dt{\sqrt {\Pi '}}}{r'^{2}}}.$

Ainsi les seconds membres des quatre équations précédentes seront tous donnés, dès qu’on connaîtra $r,r'$ et $r''$ en $t$ (Article cité) ; de sorte qu’on aura quatre équations entre les trois inconnues, $\xi ,\xi '$ et $\omega ,$ par lesquelles on pourra non-seulement déterminer ces trois inconnues, mais encore avoir une équation entre les quantités $r,r',r'',u,u',\ldots ,$ et cette équation sera la même que celle qu’on a déjà trouvée plus haut (Article X) par une voie bien différente.

XX.

Supposons, pour abréger, que les équations précédentes soient représentées ainsi

${\begin{aligned}\cos \xi \cos \xi '+\sin \xi \sin \xi '\cos \omega =&\lambda ,\\\sin \xi \cos \xi '-\cos \xi \sin \xi '\cos \omega =&\mu ,\\\cos \xi \sin \xi '-\sin \xi \cos \xi '\cos \omega =&\nu ,\\\sin \xi \sin \xi '+\cos \xi \cos \xi '\cos \omega =&-\varpi ,\end{aligned}}$

en faisant

${\begin{aligned}\lambda =&{\frac {p''}{rr'}},\quad \mu ={\frac {p''dr+rd\mathrm {V} }{r^{2}r'd\theta }},\quad \nu ={\frac {p''dr'+r'd\mathrm {V} '}{rr'^{2}d\theta '}},\\\varpi =&{\frac {-p''drdr'+d\mathrm {V} .rdr'+d\mathrm {V} '.r'dr-rr'v''dt^{2}}{r^{2}r'^{2}d\theta d\theta '}}\,;\end{aligned}}$

il est facile de réduire ces quatre équations à ces deux-ci

${\begin{aligned}\cos(\xi \pm \xi ')(1\mp \cos \omega )=&\lambda \pm \varpi ,\\\sin(\xi \pm \xi ')(1\mp \cos \omega )=&\mu \pm \nu ,\end{aligned}}$

lesquelles, à cause de l’ambiguïté des signes, équivalent réellement à quatre équations. Élevant ces deux équations au carré, et ensuite les ajoutant ensemble, on a

$(1\mp \cos \omega )^{2}=(\lambda \pm \varpi )^{2}+(\mu \pm \nu )^{2},$