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rier les quantités $x,y,z,r$ et $\xi$ qui appartiennent au Corps $\mathrm {B}$ indépendamment des quantités $x',y',z',r'$ et $\mathrm {Z} '$ qui appartiennent au Corps $\mathrm {C} ,$ et vice versâ celles-ci indépendamment de celles-là ; d’où il suit qu’en faisant varier d’abord $x,y,z,r$ et $\xi ,$ ensuite $x',y',z',r'$ et $\xi ',$ enfin les unes et les autres en même temps, on tirera de l’équation dont il s’agit les trois suivantes

${\begin{aligned}(-\sin \xi \cos \xi '+\cos \xi \sin \xi '\cos \omega )d\theta &\\=-{\frac {(xx'+yy'+zz')dr}{r^{2}r'}}+&{\frac {x'dx+y'dy+z'dz}{rr'}},\\(-\cos \xi \sin \xi '+\sin \xi \cos \xi '\cos \omega )d\theta '&\\=-{\frac {(xx'+yy'+zz')dr}{rr'^{2}}}+&{\frac {xdx'+ydy'+zdz'}{rr'}},\\(\sin \xi \sin \xi '+\cos \xi \cos \xi '\cos \omega )d\theta d\theta '&\\=\ {\frac {(xx'+yy'+zz')drdr'}{r^{2}r'^{2}}}&-{\frac {(x'dx+y'dy+z'dz)dr'}{rr'^{2}}},\\-{\frac {(xdx'+ydy'+zdz')dr}{r^{2}r'}}&+{\frac {(dxdx'+dydy'+dzdz')dr'}{rr'}}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait dans toutes ces équations les substitutions de l’Article VIII, on aura ces quatre-ci

${\begin{aligned}\cos \xi \cos \xi '+\sin \xi \sin \xi '\cos \omega =&{\frac {p''}{rr'}},\\-\sin \xi \cos \xi '+\cos \xi \sin \xi '\cos \omega =&-{\frac {p''dr+rd\mathrm {V} }{r^{2}r'd\theta }},\\-\cos \xi \sin \xi '+\sin \xi \cos \xi '\cos \omega =&-{\frac {p''dr'+r'd\mathrm {V} '}{rr'^{2}d\theta }},\\\sin \xi \sin \xi '+\cos \xi \cos \xi '\cos \omega =&{\frac {p''drdr'-d\mathrm {V} .rdr'-d\mathrm {V} '.r'dr+rr'v''dt^{2}}{r^{2}r'^{2}d\theta d\theta '}}.\end{aligned}}$

Or il est facile de concevoir que le carré du petit espace que parcourt le Corps $\mathrm {B}$ dans le temps $dt$ est exprimé également par $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ et par $r^{2}d\theta ^{2}+dr^{2},$ de sorte qu’on aura

$rd\theta ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dr^{2}}}$

et par conséquent (Articles VIII et XI)

$d\theta ={\frac {\sqrt {u^{2}dt^{2}-dr^{2}}}{r}}={\frac {dt{\sqrt {\Pi }}}{r^{2}}},$