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de plus on a, par les formules du même Article,

$r^{2}=p'+p'',\quad r'^{2}=p+p'',\quad r''^{2}=p+p',$

et de même

$u^{2}=v'+v'',\quad u'^{2}=v+v'',\quad u''^{2}=v+v'\,;$

donc, si l’on fait ces substitutions, et qu’on suppose pour plus de simplicité

${\begin{alignedat}{3}\Sigma \,\ =&p\left({\frac {2rdr}{dt}}\right)^{2}&+&p'\left({\frac {dp''}{dt}}\right)^{2}+p''\left({\frac {dp'}{dt}}\right)^{2}&\\&&&-2\left(p''{\frac {dp'}{dt}}-p'{\frac {dp''}{dt}}\right){\frac {d\rho }{dt}}&+&r^{2}\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)^{2},\\\Sigma '\,=&p'\left({\frac {2r'dr'}{dt}}\right)^{2}&+&p\left({\frac {dp''}{dt}}\right)^{2}+p''\left({\frac {dp}{dt}}\right)^{2}&\\&&&+2\left(p''{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp''}{dt}}\right){\frac {d\rho }{dt}}&+&r'^{2}\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)^{2},\\\Sigma ''=&p''\left({\frac {2r''dr''}{dt}}\right)^{2}&+&p'\left({\frac {dp}{dt}}\right)^{2}+p\left({\frac {dp'}{dt}}\right)^{2}&\\&&&+2\left(p{\frac {dp'}{dt}}-p'{\frac {dp}{dt}}\right){\frac {d\rho }{dt}}&+&r''^{2}\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)^{2},\end{alignedat}}$

l’équation suivante deviendra, après avoir été multipliée par ${\frac {16}{dt^{4}}},$

(N)

${\begin{aligned}16(pp'+pp''+p'p'')(vv'+vv''+v'v'')-4(\Sigma v+\Sigma 'v'+\Sigma ''v'')&\\+\left({\frac {dpdp'+dpdp''+dp'dp''+d\rho ^{2}}{dt^{2}}}\right)^{2}&=0.\end{aligned}}$

Il faut donc que cette équation ait lieu en même temps que les trois équations $(\mathrm {K} )$ de l’Article V ; de sorte que, comme elle ne contient d’ailleurs que les mêmes variables que les équations $(\mathrm {K} ),$ et qu’elle est d’un ordre moins élevé d’une unité que celle-ci, on pourra la regarder comme une intégrale de ces mêmes équations $(\mathrm {K} ),$ mais intégrale particulière à cause qu’elle ne renferme aucune nouvelle constante ; ainsi, si l’on intègre les équations $(\mathrm {K} )$ en y ajoutant les constantes nécessaires, ces constantes devront être telles qu’elles satisfassent à l’équation $(\mathrm {N} ).$ De sorte que, si l’on ne veut pas se servir de cette dernière équation à la place de l’une des équations $(\mathrm {K} ),$ il faudra néanmoins y avoir égard dans la détermination des constantes ; mais pour cela il suffira d’y supposer partout $t=0.$

Au reste nous ferons toujours usage de cette équation pour déterminer la constante qui doit entrer dans la valeur de ${\frac {d\rho }{dt}},$ résultante de l’intégration de l’équation $(H)$ de l’Article V.