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VI.

On peut encore mettre les mêmes équations $(\mathrm {K} )$ sous une autre forme que voici.

Je multiplie la première de ces équations par $d(r^{2}),$ et je l’intègre ensuite pour avoir

${\frac {d\left(r^{2}\right)^{2}}{4dt^{2}}}-2\left(\mathrm {A+B+C} \right)r-\mathrm {C} \int (p'q'-p''q'')d\left(r^{2}\right)$

$-\mathrm {C} \int \mathrm {Q} d\left(r^{2}\right)+\mathrm {L} =0,$

$\mathrm {L}$ étant une constante arbitraire.

Or

$\int \mathrm {Q} d\left(r^{2}\right)=\mathrm {Q} r^{2}-\int r^{2}d\mathrm {Q} \,;$

mais

$d\mathrm {Q} =q'dp'-q''dp''-qd\rho \,;$

de plus, à cause de $r^{2}=p'+p'',$

$(p'q'-p''q'')d\left(r^{2}\right)-r^{2}(q'dp'-q''dp'')$

$=-(p'q'-p''q'')(dp'+dp'')+(p'+p'')(q'dp'-q''dp'')=q(p''dp'-p'dp'')$

de sorte que si l’on fait, pour abréger,

$d\mathrm {P} =q\left(p''dp'-p'dp''-r^{2}d\rho \right),$

on aura on aura, en négligeant la constante $\mathrm {L}$ qui peut être censée contenue dans $\mathrm {P} ,$ et divisant toute l’équation par $r^{2},$

${\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2\left(\mathrm {A+B+C} \right)}{r}}+\mathrm {C} \left({\frac {\mathrm {P} }{r^{2}}}-\mathrm {Q} \right)=0.$

Faisant de même

${\begin{aligned}d\mathrm {P} '\,=&q'\,\left(p''dp\,-pdp''+r'^{2}\,d\rho \right),\\d\mathrm {P} ''=&q''\left(p\ dp'-p'dp\ +r''^{2}d\rho \right),\end{aligned}}$