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savoir

$d\mathrm {V} ''={\frac {r'dr'+r''dr''-rdr-d\rho }{2}}.$

Tout se réduit donc maintenant à avoir la valeur de $d\rho \,;$ pour y parvenir, je différentie, et j’ai

$d^{2}\rho =x'd^{2}x+y'd^{2}y+z'd^{2}z-xd^{2}x'-yd^{2}y'-zd^{2}z'\,;$

je substitue à la place de $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z,\ldots$ les valeurs tirées des équations $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} ),$ et faisant les autres substitutions convenables, je trouve

${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {A+B} }{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {C} }{r''^{3}}}-{\frac {\mathrm {A+C} }{r'^{3}}}-{\frac {\mathrm {B} }{r''^{3}}}\right)\left(r^{2}+r'^{2}-r''^{2}\right)$

$-\mathrm {C} \left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)r'^{2}+\mathrm {B} \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)r^{2},$

ou bien

${\frac {2d^{2}\rho }{dt^{2}}}+\mathrm {A} \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r'^{3}}}\right)\left(r^{2}+r'^{2}-r''^{2}\right)+\mathrm {B} \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)\left(r'^{2}-r^{2}-r''^{2}\right)$

$+\mathrm {C} \left({\frac {1}{r''^{3}}}-{\frac {1}{r'^{3}}}\right)\left(r^{2}-r'^{2}-r''^{2}\right)=0.$

V.

Supposons, pour mettre nos formules sous une forme plus simple,

${\begin{array}{lll}{\cfrac {r'^{2}+r''^{2}-r^{2}}{2}}=p,&{\cfrac {r^{2}+r''^{2}-r'^{2}}{2}}=p',&{\cfrac {r^{2}+r'^{2}-r''^{2}}{2}}=p'',\\{\cfrac {1}{r'^{3}}}-{\cfrac {1}{r''^{3}}}=q,&{\cfrac {1}{r^{3}}}-{\cfrac {1}{r''^{3}}}=q',&{\cfrac {1}{r'^{3}}}-{\cfrac {1}{r^{3}}}=q''=q-q',\\{\cfrac {u'^{2}+u''^{2}-u^{2}}{2}}=v,&{\cfrac {u^{2}+u''^{2}-u'^{2}}{2}}=v',&{\cfrac {u^{2}+u'^{2}-u''^{2}}{2}}=v'',\end{array}}$

et l’on aura d’abord, pour la détermination de $d\rho ,$ cette équation

(H)

${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}+\mathrm {C} pq-\mathrm {B} p'q'-\mathrm {A} p''q''=0.$

On aura ensuite

$d\mathrm {V} ={\frac {dp''+d\rho }{2}},\quad d\mathrm {V} '={\frac {dp''-d\rho }{2}},\quad d\mathrm {V} ''={\frac {dp-d\rho }{2}},$