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à l’aide desquelles on pourra déterminer les orbites relatives des Corps $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ autour du Corps $\mathrm {A} .$

Si l’on fait encore

$x'-x=x'',\quad y'-y=y'',\quad z'-z=z'',$

en sorte que $x'',y'',z''$ soient les coordonnées rectangles de l’orbite du Corps $\mathrm {C}$ autour de $\mathrm {B} ,$ on aura

$r''={\sqrt {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}},$

et, retranchant respectivement les trois premières équations des trois dernières, on aura ces trois-ci

(C)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}x''}{dt^{2}}}+&\left({\frac {\mathrm {B+C} }{r''^{3}}}+{\frac {\mathrm {A} }{r^{3}}}\right)x''+&\mathrm {A} \left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)x'=&0,\\{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+&\left({\frac {\mathrm {B+C} }{r''^{3}}}+{\frac {\mathrm {A} }{r^{3}}}\right)y''+&\mathrm {A} \left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)y'=&0,\\{\frac {d^{2}z''}{dt^{2}}}+&\left({\frac {\mathrm {B+C} }{r''^{3}}}+{\frac {\mathrm {A} }{r^{3}}}\right)z''+&\mathrm {A} \left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)z'=&0,\end{alignedat}}\right.$

qui exprimeront le mouvement relatif du Corps $\mathrm {C}$ autour du Corps $\mathrm {B} .$

Il est bon de remarquer l’analogie qu’il y a entre ces neuf équations $\mathrm {(A),(B),(C)} \,;$ c’est que les équations $(\mathrm {A} )$ se changent en les équations $(\mathrm {B} )$ en y changeant seulement $\mathrm {B}$ en $\mathrm {C} ,$ $x$ en $x',$ $y$ en $y',$ $z$ en $z',$ $r$ en $r',$, et réciproquement ; et que de même ces équations se changent en les équations $(\mathrm {C} )$ en y changeant $\mathrm {A}$ en $\mathrm {C} ,$ $x$ en $x'',$ $y$ en $y'',$ $z$ en $z'',$ $r$ en $r'',$ et vice versâ ; et la même analogie aura lieu dans toutes les formules que nous trouverons par la suite.

II.

Qu’on multiplie la première des équations $(\mathrm {A} )$ par $y$ et la seconde par $x,$ et qu’ensuite on les retranche l’une de l’autre, on aura

${\frac {yd^{2}x-xd^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {C} \left({\frac {1}{r'^{3}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)(yx'-xy')=0,$